Colombeauova algebra - Colombeau algebra - Wikipedia

v matematika, a Colombeauova algebra je algebra určitého druhu obsahující prostor Schwartzovy distribuce. Zatímco v klasické teorii distribuce není obecné násobení distribucí možné, Colombeauovy algebry k tomu poskytují přísný rámec.

Takové znásobení distribucí bylo dlouho považováno za nemožné kvůli výsledku nemožnosti L. Schwartze, který v zásadě uvádí, že nemůže existovat diferenciální algebra obsahující prostor distribucí a zachování produktu spojitých funkcí. Pokud však někdo chce pouze zachovat produkt plynulých funkcí, je taková konstrukce možná, jak to nejprve předvedl Colombeau.

Jako matematický nástroj lze říci, že Colombeauovy algebry kombinují zpracování singularit, diferenciace a nelineárních operací v jednom rámci, čímž se odstraňují omezení teorie distribuce. Tyto algebry dosud nalezly řadu aplikací v oblasti parciálních diferenciálních rovnic, geofyziky, mikrolokální analýzy a obecné relativity.

Výsledek nemožnosti Schwartze

Pokus o vložení prostoru ${ displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ distribucí na ${ displaystyle mathbb {R}}$ do asociativní algebry ${ displaystyle (A ( mathbb {R}), circ, +)}$, následující požadavky se zdají být přirozené:

1. ${ displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ je lineárně vloženo do ${ displaystyle A ( mathbb {R})}$ taková, že konstantní funkce ${ displaystyle 1}$ se stává jednotou v ${ displaystyle A ( mathbb {R})}$,
2. Existuje částečný operátor derivace ${ displaystyle částečné}$ na ${ displaystyle A ( mathbb {R})}$ který je lineární a splňuje Leibnizovo pravidlo,
3. omezení ${ displaystyle částečné}$ na ${ displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ shoduje se s obvyklou parciální derivací,
4. omezení ${ displaystyle circ}$ na ${ displaystyle C ( mathbb {R}) krát C ( mathbb {R})}$ se shoduje s bodovým produktem.

Výsledek L. Schwartze^[1] znamená, že tyto požadavky nemohou platit současně. Totéž platí, i když v bodě 4 nahradíte jeden ${ displaystyle C ( mathbb {R})}$ podle ${ displaystyle C ^ {k} ( mathbb {R})}$, prostor ${ displaystyle k}$ krát průběžně diferencovatelné funkce. I když tento výsledek byl často interpretován jako tvrzení, že obecné násobení distribucí není možné, ve skutečnosti pouze uvádí, že nelze bez omezení kombinovat diferenciaci, násobení spojitých funkcí a přítomnost singulárních objektů, jako je delta Dirac.

Colombeauovy algebry jsou konstruovány tak, aby splňovaly podmínky 1. – 3. a stav jako 4., ale s ${ displaystyle C ( mathbb {R}) krát C ( mathbb {R})}$ nahrazen ${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R}) krát C ^ { infty} ( mathbb {R})}$, tj. zachovávají pouze produkt hladkých (nekonečně diferencovatelných) funkcí.

Základní myšlenka

Colombeau Algebra^[2] je definován jako kvocient algebra

${ displaystyle C_ {M} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}) / C_ {N} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}).}$

Tady algebra umírněné funkce ${ displaystyle C_ {M} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je algebra hladkých rodin pravidelnost (F_ε)

${ displaystyle {f:} mathbb {R} _ {+} na C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$

z plynulé funkce na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$(kde R₊ = (0, ∞) je „regulace "parametr ε), tedy pro všechny kompaktní podmnožiny K. z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a všechno multiindices α, existuje N > 0 takových

${ displaystyle sup _ {x v K} vlevo | { frac { částečné ^ {| alfa |}} {( částečné x_ {1}) ^ { alpha _ {1}} cdots ( částečné x_ {n}) ^ { alpha _ {n}}}} f _ { varepsilon} (x) right | = O ( varepsilon ^ {- N}) qquad ( varepsilon až 0). }$

The ideál ${ displaystyle C_ {N} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ z zanedbatelné funkce je definován stejným způsobem, ale s částečnými derivacemi místo ohraničený O (ε^{+ N}) pro Všechno N > 0.

Vkládání distribucí

Prostor (y) Schwartzovy distribuce lze vložit do zjednodušený algebra od (komponentně) konvoluce s jakýmkoli prvkem algebry, který má jako reprezentativní a 5-net, tj. rodina plynulých funkcí ${ displaystyle varphi _ { varepsilon}}$ takhle ${ displaystyle varphi _ { varepsilon} do delta}$ v D ' tak jakoε → 0.

Toto vložení je nekanonické, protože záleží na volbě δ-net. Existují však verze Colombeauových algeber (tzv úplný algebry), které umožňují kanonické vložení distribucí. Dobře známý úplný verze se získá přidáním mollifikátorů jako druhé indexovací sady.

Viz také

• Zobecněná funkce

Poznámky

Reference

• Colombeau, J. F., Nové zobecněné funkce a násobení distribucí. Severní Holandsko, Amsterdam, 1984.
• Colombeau, J. F., Základní seznámení s novými zobecněnými funkcemi. Severní Holandsko, Amsterdam, 1985.
• Nedeljkov, M., Pilipović, S., Scarpalezos, D., Lineární teorie zobecněných funkcí ColombeauAddison Wesley, Longman, 1998.
• Grosser, M., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M., Steinbauer, R .; Geometrická teorie zobecněných funkcí s aplikacemi na obecnou relativituSpringer Series Mathematics and its Applications, sv. 537, 2002; ISBN  978-1-4020-0145-1.