Problém s nalezením drápu - Claw finding problem

The problém s nalezením drápu je klasický problém v teorie složitosti s několika aplikacemi ve Windows kryptografie. Stručně řečeno, vzhledem k dvěma funkcím F, G, zobrazeno jako věštci, problém je najít X a y jako F(X) = G(y). Dvojice (X, y) se pak nazývá a dráp. Některé problémy, zejména v kryptografii, lze nejlépe vyřešit, když se na ně díváme jako na problém s nalezením drápů, a proto jakékoli algoritmické vylepšení řešení problému s nalezením drápů poskytuje lepší útok na kryptografické primitivy, jako je hashovací funkce.

Definice

Nechat ${ displaystyle A, B, C}$ být konečné množiny a ${ displaystyle f: A až C}$, ${ displaystyle g: B až C}$ dvě funkce. Pár ${ displaystyle (x, y) v A krát B}$ se nazývá a dráp -li ${ displaystyle f (x) = g (y)}$. Problém s nalezením drápu je definován jako nalezení takového drápu, pokud existuje.

Pokud se podíváme ${ displaystyle f, g}$ jako náhodné funkce očekáváme, že dráp bude existovat iff ${ displaystyle | A | cdot | B | geq | C |}$. Přesněji řečeno, existují přesně ${ displaystyle | A | cdot | B |}$ páry formuláře ${ displaystyle (x, y)}$ s ${ displaystyle x v A, y v B}$; pravděpodobnost, že takový pár je dráp, je ${ displaystyle 1 / | C |}$. Takže když ${ displaystyle | A | cdot | B | geq | C |}$, očekávané číslo drápů je alespoň 1.

Algoritmy

Pokud se používají klasické počítače, nejlepší algoritmus je podobný a Meet-in-the-middle útok, poprvé popsal Diffie a Sakra chlape.^[1] Algoritmus funguje následovně: předpokládejme ${ displaystyle | A | leq | B |}$. Pro každého ${ displaystyle x v A}$, uložte pár ${ displaystyle (f (x), x)}$ v hash tabulka indexováno podle ${ displaystyle f (x)}$. Pak pro každého ${ displaystyle v B}$, podívejte se na stůl ${ displaystyle g (y)}$. Pokud takový index existuje, našli jsme dráp. Tento přístup vyžaduje čas ${ displaystyle O (| A | + | B |)}$ a paměť ${ displaystyle O (| A |)}$.

Li kvantové počítače Seiichiro Tani ukázal, že dráp lze nalézt ve složitosti ${ displaystyle { sqrt [{3}] {| A | cdot | B |}}}$.^[2]

Shengyu Zhang ukázal, že asymptoticky jsou tyto algoritmy co nejúčinnější.^[3]

Aplikace

Jak již bylo uvedeno, většina aplikací problému s nalezením drápů se objevuje v kryptografie. Mezi příklady patří:

• Kolize nález na kryptografickém hashovací funkce.
• Meet-in-the-middle útoky: pomocí této techniky, k bity kulatých klíčů najdete v čase zhruba 2^{k / 2 + 1}. Tady F šifruje v polovině a G dešifruje v polovině. To je důvod, proč Triple DES platí DES třikrát a nejen dva.
• Aktuálně nejznámější útok proti supersingulární výměna klíčů isogeny hledá dráp na isogenym grafu.^[4]

Reference