Chung – Fuchsova věta - Chung–Fuchs theorem

v matematika, Chung – Fuchsova věta, pojmenoval podle Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs a Chung Kai-lai, uvádí, že pro částice podstupující a náhodná procházka v m-dimenzích je jisté, že se nekonečně často vrací do kteréhokoli sousedství původu na jednorozměrné linii (m = 1) nebo dvourozměrné rovině (m = 2), ale ve trojrozměrných prostorech nechat do nekonečna.

Konkrétně, pokud je poloha částice popsána vektorem ${ displaystyle X_ {n}}$ :

${ displaystyle X_ {n} = Z_ {1} + ... + Z_ {n}}$

kde ${ displaystyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {n}}$ jsou nezávislé m-rozměrné vektory s daným vícerozměrným rozdělením,

pak pokud ${ displaystyle m = 1}$ , ${ displaystyle E (| Z_ {i} |) < infty}$ a ${ displaystyle E (Z_ {i}) = 0}$ , nebo když ${ displaystyle m = 2}$ ${ displaystyle E (| Z_ {i} ^ {2} |) < infty}$ a ${ displaystyle E (Z_ {i}) = 0}$ ,

platí:

${ displaystyle forall epsilon> 0}$ , ${ displaystyle Pr ( forall n_ {0} geq 0, , existuje n geq n_ {0}, , | X_ {n} | < epsilon) = 1}$

Nicméně pro ${ displaystyle m geq 3}$ ,

${ displaystyle forall A> 0}$ , ${ displaystyle Pr ( existuje n_ {0} geq 0, , forall n geq n_ {0}, , | X_ {n} | geq A) = 1}$ .

Reference

Cox, Miller (1963), Teorie stochastických procesů, Londýn: Chapman and Hall Ltd..
„O rozdělení hodnot součtů náhodných proměnných“ Chung, K.L. a Fuchs, W.H.J. Mem. Amer. Matematika. Soc. 1951 č. 6, 12 bodů