Bezbunkový model okrajové vrstvy - Cell-free marginal layer model

V malém kapilární hemodynamika, bezbuněčná vrstva je vrstva téměř stěny plazma chybí červené krvinky protože podléhají migraci do EU kapilární centrum v Tok Poiseuille.^[1] Bezbunkový model okrajové vrstvy je matematický model který se snaží vysvětlit Fåhræus – Lindqvistův efekt matematicky.

Matematické modelování

Řídící rovnice

Zvážit stálý tok z krev přes a kapilární z poloměr ${ displaystyle R}$ . The kapilární průřez lze rozdělit na a jádro region a bez buněk plazma oblast u zdi. Řídící rovnice pro obě oblasti lze určit pomocí následujících rovnic:^[2]

{ displaystyle { frac {- Delta P} {L}} = { frac {1} {r}} { frac {d} {dr}} ( mu _ {c} r { frac {du_ {c}} {dr}});}

{ displaystyle 0 leq r leq R- delta ,}

{ displaystyle { frac {- Delta P} {L}} = { frac {1} {r}} { frac {d} {dr}} ( mu _ {p} r { frac {du_ {p}} {dr}});}

{ displaystyle R- delta leq r leq R ,}

kde:

{ displaystyle Delta P}

je tlaková ztráta přes kapilární

{ displaystyle L}

je délka kapiláry

{ displaystyle u_ {c}}

je rychlost v hlavní oblasti

{ displaystyle u_ {p}}

je rychlost plazmy v bezbuněčné oblasti

{ displaystyle mu _ {c}}

je viskozita v hlavní oblasti

{ displaystyle mu _ {p}}

je viskozita plazmy v bezbuněčné oblasti

{ displaystyle delta}

je bez buněk plazma tloušťka vrstvy

Okrajové podmínky

The okrajové podmínky získat řešení pro tyto dva diferenciální rovnice výše je uvedeno, že gradient rychlosti je ve středu trubice nulový, nedochází ke skluzu na stěně trubky a rychlost a smykové napětí jsou spojité na rozhraní mezi těmito dvěma zónami. Tyto okrajové podmínky lze vyjádřit matematicky jako:

${ displaystyle left. { frac {du_ {c}} {dr}} right | _ {r = 0} = 0}$
${ displaystyle left.u_ {p} doprava | _ {r = R} = 0}$
${ displaystyle left.u_ {p} right | _ {r = R- delta} = left.u_ {c} right | _ {r = R- delta}}$
${ displaystyle left. tau _ {p} right | _ {r = R- delta} = left. tau _ {c} right | _ {r = R- delta}}$

Profily rychlosti

Integrace řídících rovnic s ohledem na r a použití výše diskutovaných okrajových podmínek bude mít za následek:

{ displaystyle u_ {c} = { frac { Delta PR ^ {2}} {4 mu _ {p} L}} [1 - ({ frac {R- delta} {R}}) ^ {2} - { frac { mu _ {p}} { mu _ {c}}} ({ frac {r} {R}}) ^ {2} + { frac { mu _ {p }} { mu _ {c}}} ({ frac {R- delta} {R}}) ^ {2}]}

{ displaystyle u_ {p} = { frac { Delta PR ^ {2}} {4 mu _ {p} L}} [1 - ({ frac {r} {R}}) ^ {2} ]}

Objemový průtok pro oblasti bez buněk a jádra

${ displaystyle Q_ {p} = int limity _ {R- delta} ^ {R} 2 pi * u_ {p} rdr = { frac { pi Delta P} {8u_ {p}}} (R ^ {2} - (R- delta) ^ {2}) ^ {2}}$

${ displaystyle Q_ {c} = int limity _ {0} ^ {R- delta} 2 pi * u_ {c} rdr = { frac { pi Delta P * (R- delta) ^ {2}} {8}} [{ frac {(R- delta) ^ {2}} {u_ {c}}} + { frac {2 (R ^ {2} - (R- delta) ^ {2})} {8u_ {p}}}]}$

Celkový objemový průtok je algebraický součet průtoků v oblasti jádra a plazmy. Výraz pro součet objemový průtok lze napsat jako:

{ displaystyle Q = Q_ {c} + Q_ {p} = { frac { pi Delta PR ^ {4}} {8 mu _ {p} L}} [1- (1 - { frac { delta} {R}}) ^ {4} (1 - { frac { mu _ {p}} { mu _ {c}}})]}

Srovnání s viskozita který platí v Tok Poiseuille výnosy efektivní viskozita, ${ displaystyle mu _ {e}}$ tak jako:

{ displaystyle mu _ {e} = { frac { mu _ {p}} {[1- (1 - { frac { delta} {R}}) ^ {4} (1 - { frac { mu _ {p}} { mu _ {c}}})]}}}

Lze to realizovat, když poloměr krevní céva je mnohem větší než tloušťka bez buněk plazma vrstva, efektivní viskozita se rovná hromadné viskozita krve ${ displaystyle mu _ {c}}$ při vysokých smykových rychlostech (newtonovská tekutina).