Konzolová magnetometrie - Cantilever magnetometry

Konzolová magnetometrie je použití a konzola měřit magnetický moment magnetických částic. Na konci konzoly je připevněn malý kousek magnetický materiál, který interaguje s vnějšími magnetickými poli a vyvíjí točivý moment na konzolu. Tyto točivé momenty způsobují, že konzola osciluje rychleji nebo pomaleji, v závislosti na orientaci okamžiku částice vzhledem k vnějšímu poli a velikosti okamžiku. Velikost okamžiku a magnetická anizotropie materiálu lze odvodit měřením oscilační frekvence konzoly proti vnějšímu poli.^[1]

Konzola s magnetickými částicemi kmitajícími ve vnějším magnetickém poli. Mnoho instalací nemá modulační cívku, jak je znázorněno výše. Kapacitní spojku lze použít místo piezoelektrického měniče (PZT) k pohonu konzoly

Užitečnou, i když omezenou analogií, je kyvadlo: na Zemi osciluje s jednou frekvencí, zatímco stejné kyvadlo na, řekněme, na měsíci, by oscilovalo s nižší frekvencí. Je to proto, že hmota na konci kyvadla interaguje s vnějším gravitačním polem, podobně jako magnetický moment interaguje s vnějším magnetickým polem.

Konzolová rovnice pohybu

Vzhledem k tomu, že konzola osciluje tam a zpět, vyklenuje se do hyperbolických křivek s charakteristickým rysem, že tečna ke konci konzoly vždy protíná jeden bod podél střední osy. Z toho definujeme efektivní délku konzoly, ${ displaystyle L_ {e}}$, což je vzdálenost od tohoto bodu ke konci konzoly (viz obrázek vpravo). Lagrangián pro tento systém je pak dán vztahem

${ displaystyle { mathcal {L}} = TV = { frac {1} {2}} m underbrace {(L_ {e} { dot { theta}}) ^ {2}} _ {v ^ {2}} - left ( underbrace {{ frac {1} {2}} k (L_ {e} theta) ^ {2}} _ { begin {smallmatrix} { text {obnovení}} { text {Energy}} end {smallmatrix}} - underbrace { mu B cos {( theta - beta)}} _ { begin {smallmatrix} { text {Zeeman}} { text {Energy}} end {smallmatrix}} + underbrace {K_ {u} V sin ^ {2} { beta}} _ { begin {smallmatrix} { text {anizotropie}} { text {Energy}} end {smallmatrix}} right)}$

(Rov. 1)

kde ${ displaystyle m}$ je účinná konzolová hmota, ${ displaystyle V}$ je objem částice, ${ displaystyle k}$ je konzolová konstanta a ${ displaystyle mu}$ je magnetický moment částice. Abychom našli pohybovou rovnici, všimneme si, že máme dvě proměnné, ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle beta}$ takže existují dvě odpovídající Lagrangeovy rovnice, které je třeba vyřešit jako soustavu rovnic,

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný { dot { beta}}}} = = frac { částečný { mathcal {L}}} { částečné beta}} Rightarrow 0 = mu B sin {( theta - beta)} - 2K_ {u} V podprsenka { sin beta cos beta} _ { přibližně beta} Rightarrow}$

${ displaystyle beta = { frac {B theta} {B + H_ {k}}}}$

(Rov. 2)

kde jsme definovali ${ displaystyle H_ {k} equiv { frac {2K_ {u} V} { mu}}}$.

Můžeme zapojit ekv. 1 do našeho Lagrangeova, který se pak stává funkcí ${ displaystyle theta}$ pouze. Pak ${ displaystyle ( theta - beta) = { frac { theta H_ {k}} {B + H_ {k}}}}$a máme

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný { dot { theta}}}}} = { frac { částečný { mathcal {L}}} { částečné theta}} Rightarrow}$

${ displaystyle mL_ {e} ^ {2} { ddot { theta}} = - kL_ {e} ^ {2} theta - mu B sin { left ({ frac { theta H_ {k }} {B + H_ {k}}} vpravo)} vlevo ({ frac {H_ {k}} {B + H_ {k}}} vpravo) -2K_ {u} V sin { vlevo ({ frac { theta B} {B + H_ {k}}} right)} cos { left ({ frac { theta B} {B + H_ {k}}} right)} vlevo ({ frac {B} {B + H_ {k}}} vpravo) Rightarrow}$

${ displaystyle cca -kL_ {e} ^ {2} theta - mu B theta doleva ({ frac {H_ {k}} {B + H_ {k}}} doprava) ^ {2} - mu H_ {k} theta left ({ frac {B} {B + H_ {k}}} right) ^ {2} Rightarrow}$

${ displaystyle { ddot { theta}} + theta vlevo ({ frac {kL_ {e} ^ {2} + { frac { mu BH_ {k}} {(B + H_ {k}) }}} {ml_ {e} ^ {2}}} vpravo) = { ddot { theta}} + theta vlevo ( omega _ {o} ^ {2} + { frac { mu BH_ {k}} {ml_ {e} ^ {2} (B + H_ {k})}} vpravo) = 0,}$

nebo

${ displaystyle { ddot { theta}} + omega ^ {2} theta = 0,}$

(Rov. 3)

kde ${ displaystyle omega ^ {2} equiv left ( omega _ {o} ^ {2} + { frac { mu BH_ {k}} {mL_ {e} ^ {2} (B + H_ { k})}} right) = omega _ {o} ^ {2} left (1 + { frac { mu BH_ {k}} {kL_ {e} ^ {2} (B + H_ {k })}}že jo)}$. Řešení této diferenciální rovnice je ${ displaystyle theta (t) = c_ {1} cos omega t + c_ {2} sin omega t}$ kde ${ displaystyle c_ {1}}$ a ${ displaystyle c_ {2}}$ jsou koeficienty určené počátečními podmínkami. Pohyb jednoduchého kyvadla je podobně popsán touto diferenciální rovnicí a řešením v aproximaci malého úhlu.

K přepsání můžeme použít binomickou expanzi ${ displaystyle omega}$,

${ displaystyle omega = omega _ {o} vlevo (1 + { frac { mu BH_ {k}} {kL_ {e} ^ {2} (B + H_ {k})}} vpravo) ^ {1/2} přibližně omega _ {o} vlevo (1 + { frac { mu BH_ {k}} {2kL_ {e} ^ {2} (B + H_ {k})}} + ... right) Rightarrow}$

což je forma, jak je vidět v literatuře, například rovnice 2 v článku „Magnetická ztráta a fluktuace v jednotlivých nanomagnetech měřených ultrasenzitivní konzolovou magnetometrií“.^[1]

Reference