Beta vlnka - Beta wavelet

Spojité vlnky z kompaktní podpora lze postavit,^[1] které souvisejí s beta distribuce. Proces je odvozen z rozdělení pravděpodobnosti pomocí derivace rozostření. Tyto nové vlnky mají pouze jeden cyklus, takže se jim říká jednokolka. Mohou být považovány za měkká odrůda z Haarovy vlnky jehož tvar je doladěn dvěma parametry ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$. Odvozeny jsou uzavřené výrazy pro beta vlnky a funkce měřítka i jejich spektra. Jejich význam je dán Teorém centrálního limitu Gnedenko a Kolmogorov požádali o kompaktně podporované signály.^[2]

Distribuce beta

The beta distribuce je spojité rozdělení pravděpodobnosti definované v intervalu ${displaystyle 0leq tleq 1}$. Vyznačuje se několika parametry, jmenovitě ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$ podle:

${displaystyle P (t) = {frac {1} {B (alfa, eta)}} t ^ {alpha -1} cdot (1-t) ^ {eta -1}, čtyřkolka 1leq alfa, eta leq + infty}$.

Normalizační faktor je ${displaystyle B (alfa, eta) = {frac {gama (alfa) cdot gama (eta)} {gama (alfa + eta)}}}$,

kde ${displaystyle Gamma (cdot)}$ je zobecněná faktoriální funkce Eulera a ${displaystyle B (cdot, cdot)}$ je funkce Beta.^[3]

Gnedenko-Kolmogorovova centrální limitní věta byla znovu navštívena

Nechat ${displaystyle p_ {i} (t)}$ být hustota pravděpodobnosti náhodné proměnné ${displaystyle t_ {i}}$, ${displaystyle i = 1,2,3..N}$ tj.

${displaystyle p_ {i} (t) geq 0}$, ${displaystyle (forall t)}$ a ${displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} p_ {i} (t) dt = 1}$.

Předpokládejme, že všechny proměnné jsou nezávislé.

Průměr a rozptyl dané náhodné proměnné ${displaystyle t_ {i}}$ jsou, resp

${displaystyle m_ {i} = int _ {- infty} ^ {+ infty} au cdot p_ {i} (au) d au,}$ ${displaystyle sigma _ {i} ^ {2} = int _ {- infty} ^ {+ infty} (au -m_ {i}) ^ {2} cdot p_ {i} (au) d au}$.

Průměr a rozptyl ${displaystyle t}$ jsou tedy ${displaystyle m = součet _ {i = 1} ^ {N} m_ {i}}$ a ${displaystyle sigma ^ {2} = součet _ {i = 1} ^ {N} sigma _ {i} ^ {2}}$.

Hustota ${displaystyle p (t)}$ náhodné proměnné odpovídající součtu ${displaystyle t = součet _ {i = 1} ^ {N} t_ {i}}$ je dán

Centrální limitní věta pro distribuce kompaktní podpory (Gnedenko a Kolmogorov).^[2]

Nechat ${displaystyle {p_ {i} (t)}}$ být takové distribuce ${displaystyle Supp {(p_ {i} (t))} = (a_ {i}, b_ {i}) (pro všechny i)}$.

Nechat ${displaystyle a = součet _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} <+ infty}$, a ${displaystyle b = součet _ {i = 1} ^ {N} b_ {i} <+ infty}$.

Bez ztráty obecnosti to předpokládejte ${displaystyle a = 0}$ a ${displaystyle b = 1}$.

Náhodná proměnná ${displaystyle t}$ drží, jako ${displaystyle Nightarrow infty}$,${displaystyle p (t) cca}$ ${displaystyle {egin {cases} {kcdot t ^ {alpha} (1-t) ^ {eta}}, otherwiseend {cases}}}$

kde ${displaystyle alpha = {frac {m (m-m ^ {2} -sigma ^ {2})} {sigma ^ {2}}},}$ a ${displaystyle eta = {frac {(1-m) (alfa +1)} {m}}.}$

Beta vlnky

Od té doby ${displaystyle P (cdot | alfa, eta)}$ je unimodální, vlnka generovaná

${displaystyle psi _ {beta} (t | alpha, eta) = (- 1) {frac {dP (t | alpha, eta)} {dt}}}$ má pouze jeden cyklus (negativní polocyklus a pozitivní polocyklus).

Hlavní rysy beta vlnky parametrů ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$ jsou:

${displaystyle Supp (psi) = [- {sqrt {frac {alpha} {eta}}} {sqrt {alpha + eta +1}}, {sqrt {frac {eta} {alpha}}} {sqrt {alpha + eta +1}}] = [a, b].}$

${displaystyle lengthSupp (psi) = T (alpha, eta) = (alpha + eta) {sqrt {frac {alpha + eta +1} {alpha eta}}}.}$

Parametr ${displaystyle R = b / | a | = eta / alfa}$ je označován jako „cyklická rovnováha“ a je definován jako poměr mezi délkami kauzálního a nekauzálního kousku vlnky. Okamžik přechodu ${displaystyle t_ {zerocross}}$ od první do druhé poloviny cyklu je dána vztahem

${displaystyle t_ {zerocross} = {frac {(alpha - eta)} {(alpha + eta -2)}} {sqrt {frac {alpha + eta +1} {alpha eta}}}.}$

Funkce (unimodální) měřítka spojená s vlnkami je dána vztahem

${displaystyle phi _ {beta} (t | alpha, eta) = {frac {1} {B (alfa, eta) T ^ {alpha + eta -1}}} cdot (ta) ^ {alpha -1} cdot ( bt) ^ {eta -1},}$ ${displaystyle aleq tleq b}$.

Lze snadno odvodit uzavřený výraz pro beta vlnky prvního řádu. V rámci jejich podpory

${displaystyle psi _ {beta} (t | alfa, eta) = {frac {-1} {B (alfa, eta) T ^ {alpha + eta -1}}} cdot [{frac {alpha -1} {ta }} - {frac {eta -1} {bt}}] cdot (ta) ^ {alpha -1} cdot (bt) ^ {eta -1}}$

Postava. Unicyklická funkce stupnice beta a vlnka pro různé parametry: a) ${displaystyle alpha = 4}$, ${displaystyle eta = 3}$ b) ${displaystyle alpha = 3}$, ${displaystyle eta = 7}$ C) ${displaystyle alpha = 5}$, ${displaystyle eta = 17}$.

Beta vlnkové spektrum

Spektrum beta vlnky lze odvodit pomocí Kummerovy hypergeometrické funkce.^[4]

Nechat ${displaystyle psi _ {beta} (t | alfa, eta) šipka vlevo Psi _ {BETA} (omega | alfa, eta)}$ označte pár Fourierovy transformace spojený s waveletem.

Toto spektrum je také označeno ${displaystyle Psi _ {BETA} (omega)}$ v krátkosti. To lze prokázat použitím vlastností Fourierovy transformace

${displaystyle Psi _ {BETA} (omega) = - jomega cdot M (alfa, alfa + eta, -jomega (alfa + eta) {sqrt {frac {alfa + eta +1} {alfa eta}}}) cdot exp { (jomega {sqrt {frac {alfa (alfa + eta +1)} {eta}}})}}$

kde ${displaystyle M (alfa, alfa + eta, ju) = {frac {gama (alfa + eta)} {gama (alfa) cdot gama (eta)}} cdot int _ {0} ^ {1} e ^ {ju t } t ^ {alfa -1} (1-t) ^ {eta -1} dt}$.

Pouze symetrické ${displaystyle (alpha = eta)}$ případy mají ve spektru nuly. Několik asymetrických ${displaystyle (alfa eq eta)}$ beta vlnky jsou zobrazeny na obr. Zvědavě jsou parametricky symetrické v tom smyslu, že platí ${displaystyle | Psi _ {BETA} (omega | alfa, eta) | = | Psi _ {BETA} (omega | eta, alfa) |.}$

Vyšší deriváty mohou také generovat další beta vlnky. Binární vlnky vyššího řádu jsou definovány pomocí${displaystyle psi _ {beta} (t | alpha, eta) = (- 1) ^ {N} {frac {d ^ {N} P (t | alpha, eta)} {dt ^ {N}}}.}$

Toto se od nynějška označuje jako ${displaystyle N}$-objednejte si vlnku beta. Existují pro pořádek ${displaystyle Nleq Min (alfa, eta) -1}$. Po nějaké algebraické manipulaci lze najít jejich uzavřený výraz:

${displaystyle Psi _ {beta} (t | alpha, eta) = {frac {(-1) ^ {N}} {B (alfa, eta) cdot T ^ {alpha + eta -1}}} součet _ {n = 0} ^ {N} sgn (2n-N) cdot {frac {Gamma (alpha)} {Gamma (alpha - (Nn))}} (ta) ^ {alpha -1- (Nn)} cdot {frac { Gamma (eta)} {Gamma (eta -n)}} (bt) ^ {eta -1-n}.}$

Postava. Velikost spektra ${displaystyle Psi _ {BETA} (omega)}$ vlnky beta, ${displaystyle | Psi _ {BETA} (omega alfa, eta) |}$ ${displaystyle imes omega}$ pro symetrickou beta vlnku ${displaystyle alpha = eta = 3}$, ${displaystyle alpha = eta = 4}$, ${displaystyle alpha = eta = 5}$

Postava. Velikost spektra ${displaystyle Psi _ {BETA} (omega)}$ vlnky beta, ${displaystyle | Psi _ {BETA} (omega alfa, eta) |}$ ${displaystyle imes omega}$ pro: Asymetrická beta vlnka ${displaystyle alpha = 3}$, ${displaystyle eta = 4}$, ${displaystyle alpha = 3}$, ${displaystyle eta = 5}$.

aplikace

Teorie waveletů je použitelná pro několik předmětů. Všechny vlnkové transformace lze považovat za formy časově-frekvenční reprezentace pro spojité (analogové) signály, a tak souvisí s harmonickou analýzou. Téměř všechny prakticky užitečné diskrétní vlnkové transformace používají banky filtrů v diskrétním čase. Podobně Beta wavelet^[1][5] a jeho deriváty se používají v několika technických aplikacích v reálném čase, jako je komprese obrazu^[5], komprese biomedicínského signálu,^[6][7] rozpoznávání obrazu [9]^[8] atd.

Reference

Další čtení

• W.B. Davenport Pravděpodobnost a náhodné procesy, McGraw-Hill, Kogakusha, Tokio, 1970.

externí odkazy

• https://jcis.sbrt.org.br/jcis/issue/view/27
• http://www2.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html
• http://www2.ee.ufpe.br/codec/beta.html