Baum – sladká sekvence - Baum–Sweet sequence
v matematika the Baum – sladká sekvence je nekonečný automatická sekvence 0s a 1s definované pravidlem:
- bn = 1, pokud je binární reprezentace n neobsahuje žádný blok po sobě jdoucích 0 sekund liché délky;
- bn = 0 jinak;
pro n ≥ 0.[1]
Například, b4 = 1, protože binární reprezentace 4 je 100, která obsahuje pouze jeden blok po sobě jdoucích 0 s délky 2; zatímco b5 = 0, protože binární reprezentace 5 je 101, která obsahuje blok po sobě jdoucích 0 s délky 1.
Počínaje n = 0, prvních pár výrazů sekvence Baum – Sweet je:
Historická motivace
Vlastnosti sekvence byly nejprve studovány L.E. Baum a M.M. Sladký v roce 1976.[2] V roce 1949 Khinchin předpokládal, že neexistuje nekvadratické algebraické reálné číslo, které by v pokračující expanzi zlomků mělo omezené částečné kvocienty. Protiklad k této domněnce stále není znám.[3][4] Papír Baum a Sweet ukázal, že stejná očekávání nejsou splněna pro algebraické výkonové řady. V roce uvedli příklad kubické řady jejichž dílčí kvocienty jsou ohraničené. (Stupeň výkonové řady v Baumově a Sweetově výsledku je analogický stupni rozšíření pole spojeného s algebraickým realem v Khinchinově domněnce.)
Jedna ze sérií zvažovaných v článku Baum and Sweet je kořenem
Autoři ukazují, že Henselův lemma, existuje jedinečný takový kořen v protože redukce určující rovnice modulo dává , které faktory jako
Dále dokazují, že tento jedinečný kořen má částečné podíly stupně . Než tak učiní, uvedou (v poznámce následující Věta 2, s. 598)[2] že kořen lze zapsat do formuláře
kde a pro právě když binární expanze obsahuje pouze bloky sudé délky je To je původ sekvence Baum – Sweet.
Mkaouar[6] a Yao[7] dokázal, že dílčí kvocienty pokračující frakce pro výše netvoří automatickou sekvenci.[8] Sekvence dílčích kvocientů však může být generována nejednotným morfismem.[9]
Vlastnosti
Sekvenci Baum – Sweet lze generovat ve 3 stavech automat.[9]
Hodnota termínu bn v sekvenci Baum – Sweet lze nalézt rekurzivně následujícím způsobem. Li n = m·4k, kde m není tedy dělitelné 4 (nebo je 0)