Časově-frekvenční analýza základního rozšíření - Basis expansion time-frequency analysis

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Zejména u žádné hlavní sekce a první části chybí kontext. Prosím, pomoz nám objasnit článek. O tom by mohla být diskuse diskusní stránka. (Ledna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Ledna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Února 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Lineární expanze na jednom základě, ať už jde o Fourierova řada, vlnka nebo jakýkoli jiný základ nejsou dostatečně vhodné. Fourierova báze poskytovala špatné zastoupení funkcí dobře lokalizovaných v čase a waveletové báze nejsou dobře přizpůsobeny k reprezentaci funkcí, jejichž Fourierovy transformace mají úzkou vysokofrekvenční podporu. V obou případech je obtížné detekovat a identifikovat signální vzory z jejich expanzních koeficientů, protože informace jsou ředěny napříč celým základem. Proto musíme velké množství Fourierovy báze nebo vlnky představovat celý signál s malou chybou aproximace. Nějaký odpovídající pronásledování algoritmy jsou navrženy v referenčních dokumentech, aby se minimalizovala chyba aproximace, když je dána výše základny.

Vlastnosti

Pro Fourierova řada

${ displaystyle x (t) přibližně součet _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} cdot e ^ {j2 pi mt / T}}$

${ displaystyle a_ {m} = int _ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- j2 pi mt / T} , mathrm {d} t}$

Nějaký časově-frekvenční analýza jsou také pokusem představovat signál jako níže uvedená forma

${ displaystyle x (t) přibližně součet _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} cdot varphi _ {m} (t)}$

je-li dána částka základny M, minimalizuje se chyba aproximace ve smyslu střední čtverce

${ displaystyle { text {chyba aproximace}} = int _ {- infty} ^ { infty} | x (t) - součet _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} cdot varphi _ {m} (t) | ^ {2} , mathrm {d} t}$

Příklady

Atomy se třemi parametry

${ displaystyle x (t) přibližně součet a_ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} cdot varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} (t)}$

${ displaystyle varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} (t) = { frac {2 ^ {0,25}} { sigma ^ {0,5}}} e ^ {j2 pi f_ {0} t- pi (t-t_ {0}) ^ {2} / sigma ^ {2}}}$

Od té doby ${ displaystyle varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} (t) quad}$ nejsou kolmé,${ displaystyle quad a_ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} quad}$ by měl být určen a odpovídající pronásledování proces.

Tři parametry:

${ displaystyle t_ {0}}$ řídí centrální čas.

${ displaystyle f_ {0}}$ řídí centrální frekvenci.

${ displaystyle sigma}$ řídí měřítko.

Atomy se čtyřmi parametry (chirplet)

${ displaystyle x (t) přibližně součet a_ {t_ {0}, f_ {0}, sigma, eta} cdot varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma, eta } (t)}$

${ displaystyle varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma, eta} (t) = { frac {2 ^ {0,25}} { sigma ^ {0,5}}} e ^ {j2 pi (f_ {0} t + eta / 2t ^ {2}) - pi (t-t_ {0}) ^ {2} / sigma ^ {2}}}$

Čtyři parametry:

${ displaystyle t_ {0}}$ řídí centrální čas

${ displaystyle f_ {0}}$ řídí centrální frekvenci

${ displaystyle sigma}$ řídí měřítko

${ displaystyle eta}$ řídí cvrlikání

Krátkodobá Fourierova transformace na jiném základě

Reference

• S. G. Mallat a Z. Zhang, „Shoda pronásledování s časově-frekvenčními slovníky,“ IEEE Trans. Signal Process., Sv. 41, č. 12, s. 3397–3415, prosinec 1993.
• A. Bultan, „Čtyřparametrový atomový rozklad chirpletů,“ IEEE Trans. Signal Process., Sv. 47, č. 3, str. 731–745, březen 1999.
• C. Capus a K. Brown. „Krátkodobé frakční Fourierovy metody pro časově-frekvenční reprezentaci cvrlikajících signálů,“ J. Acoust. Soc. Dopoledne. sv. 113, číslo 6, s. 3253–3263, 2003.
• Jian-Jiun Ding, analýza časové frekvence a poznámka třídy waveletové transformace, Katedra elektrotechniky, Národní tchajwanská univerzita (NTU), Tchaj-pej, Tchaj-wan, 2016