Pomocný filtr pevných částic - Auxiliary particle filter

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Květen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The filtr pomocných částic je filtrování částic Algoritmus zavedený Pittem a Shephardem v roce 1999 ke zlepšení některých nedostatků postupné převzorkování důležitosti Algoritmus (SIR) při řešení sledovaných hustot pozorování.

Motivace

Filtry částic přibližují spojitou náhodnou proměnnou o ${displaystyle M}$ částice s diskrétní pravděpodobností ${displaystyle pi _ {t}}$, řekněme ${displaystyle 1 / M}$ pro rovnoměrné rozdělení. Náhodné vzorkované částice lze použít k aproximaci funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné, pokud je hodnota ${displaystyle Mightarrow infty}$.

Empirická predikční hustota se vytváří jako vážený součet těchto částic:^[1]

${displaystyle {widehat {f}} (alfa _ {t + 1} | Y_ {t}) = součet _ {j = 1} ^ {M} f (alfa _ {t + 1} | alfa _ {t} ^ {j}) pi _ {t} ^ {j}}$a můžeme to považovat za „předchozí“ hustotu. Všimněte si, že se předpokládá, že částice mají stejnou hmotnost ${displaystyle pi _ {t} ^ {j} = {frac {1} {M}}}$.

Kombinace předchozí hustoty ${displaystyle {widehat {f}} (alfa _ {t + 1} | Y_ {t})}$ a pravděpodobnost ${displaystyle f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1})}$, empirickou hustotu filtrování lze vytvořit jako:

${displaystyle {widehat {f}} (alpha _ {t + 1} | Y_ {t + 1}) = {frac {f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1}) {widehat {f} } (alpha _ {t + 1} | Y_ {t})} {f (y_ {t + 1} | Y_ {t})}} propto f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1} ) součet _ {j = 1} ^ {M} f (alpha _ {t + 1} | alpha _ {t} ^ {j}) pi _ {t} ^ {j}}$, kde ${displaystyle f (y_ {t + 1} | Y_ {t}) = int f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1}) dF (alpha _ {t + 1} | Y_ {t}) }$.

Na druhou stranu skutečná hustota filtrování, kterou chceme odhadnout, je

${displaystyle f (alpha _ {t + 1} | Y_ {t + 1}) = {frac {f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1}) f (alpha _ {t + 1} | Y_ {t})} {f (y_ {t + 1} | Y_ {t})}}}$.

Předchozí hustota ${displaystyle {widehat {f}} (alfa _ {t + 1} | Y_ {t})}$ lze použít k přiblížení skutečné hustoty filtrování ${displaystyle f (alpha _ {t + 1} | Y_ {t + 1})}$:

• Filtry částic se kreslí ${displaystyle R}$ vzorky z předchozí hustoty ${displaystyle {widehat {f}} (alfa _ {t + 1} | Y_ {t})}$. Každý vzorek je kreslen se stejnou pravděpodobností.
• Přiřaďte každému vzorku váhy ${displaystyle pi _ {j} = {frac {omega _ {j}} {sum _ {i = 1} ^ {R} omega _ {i}}}, omega _ {j} = f (y | alfa ^ { j})}$. Váhy představují funkci pravděpodobnosti ${displaystyle f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1})}$.
• Pokud číslo ${displaystyle Rightarrow infty}$než vzorky konvergují k požadované skutečné hustotě filtrování.
• The ${displaystyle R}$ částice jsou převzorkovány ${displaystyle M}$ částice s hmotností ${displaystyle pi _ {j}}$.

Mezi slabé stránky filtrů částic patří:

• Pokud váha${displaystyle omega _ {j}}$} má velkou odchylku, množství vzorku ${displaystyle R}$ musí být dostatečně velké, aby se vzorky přibližovaly empirické hustotě filtrování. Jinými slovy, zatímco váha je široce rozložena, metoda SIR bude nepřesná a přizpůsobení je obtížné.

Proto je k řešení tohoto problému navržen pomocný filtr částic.

Pomocný filtr pevných částic

Pomocná proměnná

Ve srovnání s empirickou hustotou filtrování, která má ${displaystyle {widehat {f}} (alpha _ {t + 1} | Y_ {t + 1}) propto f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1}) součet _ {j = 1} ^ {M} f (alpha _ {t + 1} | alpha _ {t} ^ {j}) pi _ {t} ^ {j}}$,

nyní definujeme ${displaystyle {widehat {f}} (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1}) propto f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1}) f (alpha _ {t +1} | alpha _ {t} ^ {k}) pi ^ {k}}$, kde ${displaystyle k = 1, ..., M}$.

Uvědomte si to ${displaystyle {widehat {f}} (alfa _ {t + 1} | Y_ {t + 1})}$ je tvořen součtem ${displaystyle M}$ částice, pomocná proměnná ${displaystyle k}$ představuje jednu konkrétní částici. S pomocí ${displaystyle k}$, můžeme vytvořit sadu vzorků, která má distribuci ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$. Poté čerpáme z této ukázkové sady ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$ místo přímo z ${displaystyle {widehat {f}} (alfa _ {t + 1} | Y_ {t + 1})}$. Jinými slovy, vzorky jsou čerpány z ${displaystyle {widehat {f}} (alfa _ {t + 1} | Y_ {t + 1})}$ s různou pravděpodobností. Vzorky jsou nakonec použity k přiblížení ${displaystyle f (alpha _ {t + 1} | Y_ {t + 1})}$.

Vezměme si například metodu SIR:

• Filtry částic se kreslí ${displaystyle R}$ vzorky z ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$.
• Každému vzorku přiřaďte hmotnost ${displaystyle pi _ {j} = {frac {omega _ {j}} {sum _ {i = 1} ^ {R} omega _ {i}}}, omega _ {j} = {frac {f (y_ { t + 1} | alpha _ {t + 1} ^ {j}) f (alpha _ {t + 1} ^ {j} | alpha _ {t} ^ {k})} {g (alpha _ {t + 1} ^ {j}, k ^ {j} | Y_ {t + 1})}}}$.
• Ovládáním ${displaystyle y_ {t + 1}}$ a ${displaystyle alpha _ {t} ^ {k}}$, váhy jsou upraveny tak, aby byly rovnoměrné.
• Podobně ${displaystyle R}$ částice jsou převzorkovány ${displaystyle M}$ částice s hmotností ${displaystyle pi _ {j}}$.

Originální filtry částic odebírají vzorky z předchozí hustoty, zatímco pomocné filtry čerpají ze společného rozdělení předchozí hustoty a pravděpodobnosti. Jinými slovy se pomocné částicové filtry vyhýbají okolnostem, za nichž jsou částice vytvářeny v oblastech s nízkou pravděpodobností. Výsledkem je, že se vzorky mohou přibližovat ${displaystyle f (alpha _ {t + 1} | Y_ {t + 1})}$ přesněji.

Výběr pomocné proměnné

Výběr pomocné proměnné ovlivňuje ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$ a řídí distribuci vzorků. Možný výběr ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$ může být:
${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1}) propto f (y_ {t + 1} | mu _ {t + 1} ^ {k}) f (alpha _ {t + 1} | alpha _ {t} ^ {k}) pi ^ {k}}$, kde ${displaystyle k = 1, ..., M}$ a ${displaystyle mu _ {t + 1} ^ {k}}$ je průměr.

Vzorky od ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$ přiblížit ${displaystyle f (alpha _ {t + 1} | Y_ {t + 1})}$ následujícím postupem:

• Nejprve přiřadíme pravděpodobnosti indexům ${displaystyle f (alpha _ {t + 1} | alpha _ {t} ^ {k})}$. Tyto pravděpodobnosti jsme pojmenovali jako váhy prvního stupně ${displaystyle lambda _ {k}}$, které jsou úměrné ${displaystyle g (k | Y_ {t + 1}) propto pi ^ {k} f (y_ {t + 1} | mu _ {t + 1} ^ {k})}$.
• Potom nakreslíme ${displaystyle R}$ vzorky z ${displaystyle f (alpha _ {t + 1} | alpha _ {t} ^ {k})}$ s váženými indexy. Tímto způsobem vlastně čerpáme vzorky ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$.
• Navíc přiřadíme váhy druhého stupně ${displaystyle pi _ {j} = {frac {omega _ {j}} {sum _ {i = 1} ^ {R} omega _ {i}}}}$ jako pravděpodobnosti ${displaystyle R}$ vzorky, kde ${displaystyle omega _ {j} = {frac {f (y_ {t + 1} | alpha _ {t + 1} ^ {j})} {f (y_ {t + 1} | mu _ {t + 1} ^ {j})}}}$. Váhy mají za cíl kompenzovat účinek ${displaystyle mu _ {t + 1} ^ {k}}$.

• Nakonec ${displaystyle R}$ částice jsou převzorkovány ${displaystyle M}$ částice s váhami ${displaystyle pi _ {j}}$.

Podle postupu nakreslíme ${displaystyle R}$ vzorky z ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$. Od té doby ${displaystyle g (alpha _ {t + 1}, k | Y_ {t + 1})}$ úzce souvisí se střední hodnotou ${displaystyle mu _ {t + 1} ^ {k}}$, má vysokou podmíněnou pravděpodobnost. Výsledkem je, že postup vzorkování je efektivnější a hodnotnější ${displaystyle R}$ lze snížit.

Jiný pohled

Předpokládejme, že filtrovaný zadní je popsán v následujícím textu M vážené vzorky:

${displaystyle p (x_ {t} | z_ {1: t}) přibližný součet _ {i = 1} ^ {M} omega _ {t} ^ {(i)} delta left (x_ {t} -x_ {t } ^ {(i)} ight).}$

Poté každý krok v algoritmus spočívá v prvním nakreslení vzorku indexu částic ${displaystyle k}$ ze kterého se bude šířit z ${displaystyle t-1}$ do nového kroku ${displaystyle t}$. Tyto indexy jsou pomocné proměnné používá se pouze jako zprostředkující krok, proto název algoritmu. Indexy jsou kresleny podle pravděpodobnosti nějakého referenčního bodu ${displaystyle mu _ {t} ^ {(i)}}$ což nějakým způsobem souvisí s přechodovým modelem ${displaystyle x_ {t} | x_ {t-1}}$ (například průměr, vzorek atd.):

${displaystyle k ^ {(i)} sim P (i = k | z_ {t}) propto omega _ {t} ^ {(i)} p (z_ {t} | mu _ {t} ^ {(i) })}$

To se opakuje pro ${displaystyle i = 1,2, tečky, M}$a pomocí těchto indexů nyní můžeme nakreslit podmíněné vzorky:

${displaystyle x_ {t} ^ {(i)} sim p (x | x_ {t-1} ^ {k ^ {(i)}}).}$

Nakonec se váhy aktualizují, aby zohledňovaly nesoulad mezi pravděpodobností ve skutečném vzorku a předpokládaným bodem ${displaystyle mu _ {t} ^ {k ^ {(i)}}}$:

${displaystyle omega _ {t} ^ {(i)} propto {frac {p (z_ {t} | x_ {t} ^ {(i)})} {p (z_ {t} | mu _ {t} ^ {k ^ {(i)}})}}}}$

Reference

Zdroje

• Pitt, M. K.; Shephard, N. (1999). „Filtrování pomocí simulace: Filtry pomocných částic“. Journal of the American Statistical Association. Americká statistická asociace. 94 (446): 590–591. doi:10.2307/2670179. JSTOR  2670179. Archivovány od originál dne 2007-10-16. Citováno 2008-05-06.