Postupy Austinova pohyblivého nože - Austin moving-knife procedures

The Postupy Austinova pohyblivého nože jsou postupy pro spravedlivé rozdělení a dort. Přidělují každý z nich n partneři, kousek dortu, který si tento partner váží přesně ${ displaystyle 1 / n}$ dortu. To je v rozporu s proporcionální dělení postupy, které dávají každému partnerovi alespoň ${ displaystyle 1 / n}$ dortu, ale může dát více partnerům.

Když ${ displaystyle n = 2}$ , dělení generované Austinovým postupem je přesné rozdělení a také je bez závisti. Navíc je možné dort rozdělit na libovolné číslo k kusů, které oba partneři hodnotí přesně jako 1 /k. Z tohoto důvodu je možné rozdělit dort mezi partnery v jakékoli frakci (např. Dát 1/3 Alici a 2/3 Georgovi).

Když ${ displaystyle n> 2}$ , rozdělení není ani přesné, ani závistivé, protože každý partner si cení pouze své vlastní části ${ displaystyle 1 / n}$ , ale mohou oceňovat jiné kousky odlišně.

Hlavním matematickým nástrojem používaným Austinovým postupem je věta o střední hodnotě (IVT).^[1]^[2]^[3]^:66

Dva partneři a poloviční koláče

Základní postupy zahrnují ${ displaystyle n = 2}$ partneři, kteří chtějí rozdělit dort tak, aby každý z nich dostal přesně jednu polovinu.

Postup dvou nožů

Kvůli popisu zavolejte dva hráče Alice a George a předpokládejte, že dort je obdélníkový.

Alice položí jeden nůž na levou část dortu a druhý rovnoběžně s ním na pravou stranu, kde podle jejího názoru rozdělí dort na dvě části.
Alice pohybuje oběma noži doprava tak, aby část mezi těmito dvěma noži vždy měla v očích polovinu hodnoty dortu (zatímco fyzická vzdálenost mezi noži se může změnit).
George říká „přestaň!“ když on si myslí, že polovina dortu je mezi noži. Jak si můžeme být jisti, že George může v určitém okamžiku říci „zastavit“? Protože pokud Alice dosáhne konce, musí mít levý nůž umístěn tam, kde pravý nůž začínal. The IVT stanoví, že George musí být spokojen, dort je v určitém okamžiku rozpůlený.
Hodí se mince, aby se vybrala mezi dvěma možnostmi: buď George obdrží kousek mezi nože a Alice obdrží dva kousky na bocích, nebo naopak. Pokud jsou partneři pravdiví, pak souhlasí s tím, že díl mezi noži má hodnotu přesně 1/2, a tak je rozdělení přesné.

Postup jednoho nože

K dosažení stejného efektu lze použít jediný nůž.

Alice otáčí nožem přes dort o 180 °, přičemž polovinu drží na obou stranách.
George říká „přestaň!“ když souhlasí.

Alice samozřejmě musí ukončit tah s nožem ve stejné linii, kde začala. Opět platí, že podle IVT musí existovat bod, ve kterém má George pocit, že obě poloviny jsou stejné.

Dva partneři a obecné frakce

Jak poznamenal Austin, oba partneři mohou najít jediný kousek dortu, který oba oceňují stejně přesně ${ displaystyle 1 / k}$ , pro jakékoli celé číslo ${ displaystyle k geq 2}$ .^[2] Zavolejte výše uvedený postup ${ displaystyle mathrm {Cut} _ {2} (1 / k)}$ :

Alice dělá ${ displaystyle k-1}$ paralelní značky na dortu tak, že ${ displaystyle k}$ takto určené kusy mají hodnotu přesně ${ displaystyle 1 / k}$ .
Pokud existuje kus, který George také oceňuje jako ${ displaystyle 1 / k}$ , pak jsme hotovi.
Jinak musí existovat kousek, který George hodnotí jako méně než ${ displaystyle 1 / k}$ a sousední kousek, který George oceňuje jako více než ${ displaystyle 1 / k}$ .
Nechte Alici umístit dva nože na dvě značky jednoho z těchto kousků a pohybovat jimi paralelně, udržovat hodnotu mezi nimi přesně ${ displaystyle 1 / k}$ , dokud nesplní značky druhého kusu. Podle IVT musí existovat bod, ve kterém George souhlasí s tím, že hodnota mezi noži je přesně ${ displaystyle 1 / k}$ .

Rekurzivním použitím ${ displaystyle mathrm {Cut} _ {2}}$ , mohou dva partneři rozdělit celý dort ${ displaystyle k}$ kousky, z nichž každý má přesnou hodnotu ${ displaystyle 1 / k}$ pro oba:^[2]

Použití ${ displaystyle mathrm {Cut} _ {2} (1 / k)}$ rozřezat kousek, který přesně stojí za to ${ displaystyle 1 / k}$ pro oba partnery.
Zbývající dort nyní stojí přesně ${ displaystyle (k-1) / k}$ pro oba partnery; použití ${ displaystyle mathrm {Cut} _ {2} (1 / (k-1))}$ rozřezat další kousek v hodnotě přesně ${ displaystyle 1 / k}$ pro oba partnery.
Takto pokračujte, dokud nebudou ${ displaystyle k}$ kousky.

Dva partneři mohou dosáhnout přesného rozdělení s jakýmkoli racionálním poměrem nároky o něco složitějším postupem.^[3]^:71

Mnoho partnerů

Kombinováním ${ displaystyle mathrm {Cut} _ {2}}$ s Finkův protokol, je možné dort rozdělit na ${ displaystyle n}$ partnery, takže každý z partnerů dostane kus v hodnotě přesně ${ displaystyle 1 / n}$ pro něj:^[1]^[4]

Partneři 1 a 2 používají ${ displaystyle mathrm {Cut} _ {2} (1/2)}$ dát každému z nich kousek v hodnotě přesně 1/2.
Partner # 3 používá ${ displaystyle mathrm {Cut} _ {2} (1/3)}$ s partnerem # 1 získat přesně 1/3 svého podílu a poté ${ displaystyle mathrm {Cut} _ {2} (1/3)}$ s partnerem č. 2, abyste získali přesně 1/3 jejího podílu. První díl má přesně 1/6 pro partnera č. 1, takže partner č. 1 zůstává přesně s 1/3; totéž platí pro partnera č. 2. Pokud jde o partnera č. 3, přičemž každý kus může být více či méně než 1/6, součet těchto dvou kusů musí být přesně 1/3 celého dortu.

Všimněte si, že pro ${ displaystyle n> 2}$ , vygenerované rozdělení není přesné, protože díl stojí za to ${ displaystyle 1 / n}$ pouze jeho vlastníkovi a ne nutně ostatním partnerům. Od roku 2015 neexistuje žádný přesný postup dělení ${ displaystyle n> 2}$ partneři; pouze téměř přesné rozdělení postupy jsou známy.

Viz také

Austinův postup používá Brams – Taylor – Zwickerův postup.
Další postupy a výsledky o spravedlivé rozdělení a přesné rozdělení.

Reference

^ ^A ^b Austin, A. K. (1982). „Sdílení dortu“. Matematický věstník. 66 (437): 212. doi:10.2307/3616548. JSTOR 3616548.
^ ^A ^b ^C Brams, Steven J .; Taylor, Alan D. (1996). Fair Division [Od krájení dortů až po řešení sporů]. s. 22–27. ISBN 978-0-521-55644-6.
^ ^A ^b Robertson, Jack; Webb, William (1998). Algoritmy pro krájení dortů: Buďte spravedliví, pokud můžete. Natick, Massachusetts: A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-076-8. LCCN 97041258. OL 2730675W.
^ Brams, Steven J .; Taylor, Alan D. Fair Division [Od krájení dortů až po řešení sporů]. 43–44. ISBN 978-0-521-55644-6.

externí odkazy

Fischer, Daniel. „Konsenzuální rozdělení dortu na dva lidi v libovolném poměru“. Math.SE. Citováno 23. června 2015.

[austin-1] A ^b Austin, A. K. (1982). „Sdílení dortu“. Matematický věstník. 66 (437): 212. doi:10.2307/3616548. JSTOR 3616548.

[bramstaylor-2] A ^b ^C Brams, Steven J .; Taylor, Alan D. (1996). Fair Division [Od krájení dortů až po řešení sporů]. s. 22–27. ISBN 978-0-521-55644-6.

[rw98-3] A ^b Robertson, Jack; Webb, William (1998). Algoritmy pro krájení dortů: Buďte spravedliví, pokud můžete. Natick, Massachusetts: A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-076-8. LCCN 97041258. OL 2730675W.

[bramstaylor43-4] Brams, Steven J .; Taylor, Alan D. Fair Division [Od krájení dortů až po řešení sporů]. 43–44. ISBN 978-0-521-55644-6.

[1]

[2]

[3]

[4]