Atkinsonova-Stiglitzova věta - Atkinson–Stiglitz theorem - Wikipedia

Tento článek je tón nebo styl nemusí odrážet encyklopedický tón použitý na Wikipedii. Viz Wikipedia průvodce psaním lepších článků pro návrhy. (Říjen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Atkinsonova-Stiglitzova věta je věta o veřejná ekonomika který uvádí, že „pokud je užitková funkce oddělitelná mezi prací a všemi komoditami, nemusí být použity žádné nepřímé daně“, pokud vláda může použít nelineární zdanění příjmů a bylo vyvinuto v klíčovém článku Joseph Stiglitz a Anthony Atkinson v roce 1976.^[1] Atkinsonova-Stiglitzova věta je obecně považována za jeden z nejdůležitějších teoretických výsledků ve veřejné ekonomii a vytvořila širokou literaturu, která vymezovala podmínky, za nichž se věta drží, např. Saez (2002), který ukázal, že Atkinson-Stiglitzova věta neplatí, pokud mají domácnosti spíše heterogenní než homogenní preference.^[2][3] V praxi se Atkinsonova-Stiglitzova věta často používala v debatě o optimální zdanění kapitálových výnosů: Vzhledem k tomu, že zdanění kapitálových příjmů lze interpretovat jako zdanění budoucí spotřeby nad rámec zdanění současné spotřeby, teorém naznačuje, že vlády by se měly zdržet zdanění kapitálových výnosů, pokud je možnost nelineárního zdanění příjmů možností, protože zdanění kapitálových příjmů by se nezlepšilo kapitál ve srovnání s nelineární daní z příjmu, přičemž navíc narušuje úspory.

Optimální zdanění

Pro jednotlivce, jehož mzda je ${ displaystyle w}$, jeho rozpočtové omezení je dáno

${ displaystyle sum _ {j} q_ {j} x_ {j} = sum _ {j} (x_ {j} + t_ {j} (x_ {j})) = wL-T (wL) ; ,}$

kde ${ displaystyle q_ {i}}$ a ${ displaystyle x_ {i}}$ jsou cena i nákup i-té komodity.

Pro maximalizaci užitné funkce je podmínkou první objednávky:

${ displaystyle U_ {j} = { frac {(1 + t '_ {j}) (- U_ {L})} {w (1-T')}} ; (j = 1,2 ,. .., N).}$

Vláda maximalizuje funkci sociálního zabezpečení atd

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} left [wL- sum _ {j} x_ {j} - { overline {R}} right] dF = 0 ;.}$

Pak použijeme funkci hustoty ${ displaystyle f}$ vyjádřit Hamiltonian:

${ displaystyle H = left [G (U) - lambda left lbrace wL- sum _ {j} x_ {j} - { overline {R}} right rbrace right] f- mu theta U_ {L} ;.}$

Vezmeme-li jeho variace s ohledem na ${ displaystyle x_ {j}}$, podmínku používáme pro její maximum.

${ displaystyle - lambda doleva [ doleva ({ frac { částečné x_ {1}} { částečné x_ {j}}} pravé) _ {U} +1 pravé] - { frac { mu theta} {f}} vlevo [{ frac { částečné ^ {2} U} { částečné x_ {1} částečné L}} vlevo ({ frac { částečné x_ {1}} { částečné x_ {j}}} pravé) _ {U} + { frac { částečné ^ {2} U} { částečné x_ {j} částečné L}} pravé] = 0 ;.}$

Pak platí následující vztah:

${ displaystyle left ({ frac { částečné x_ {1}} { částečné x_ {j}}} pravé) _ {U} = - { frac {U_ {j}} {U_ {1}} } = - { frac {1 + t '_ {j}} {1 + t' _ {1}}} ;.}$

Dosazením tohoto vztahu do výše uvedené podmínky se získá:

${ displaystyle lambda left [{ frac {1 + t '_ {j}} {1 + t' _ {1}}} - 1 right] = { frac { mu theta U_ {j} } {f}} left [{ frac { částečné ^ {2} U} { částečné L částečné x_ {j}}} cdot { frac {1} {U_ {j}}} - { frac { částečné ^ {2} U} { částečné L částečné x_ {1}}} cdot { frac {1} {U_ {1}}} doprava] = { frac { mu theta U_ {j}} {f}} { frac { částečné} { částečné L}} vlevo ( ln {U_ {j}} - ln {U_ {1}} vpravo) ;,}$

a získáme

${ displaystyle lambda left [{ frac {1 + t '_ {j}} {1 + t' _ {1}}} - 1 right] = { frac { mu theta U_ {j} } {f}} { frac { částečné} { částečné L}} vlevo ( ln { frac {U_ {j}} {U_ {1}}} vpravo) ;.}$

Všimněte si, že při nastavování nedochází ke ztrátě obecnosti ${ displaystyle t '_ {1}}$ nula, proto jsme dali ${ displaystyle t '_ {1} = 0}$. Od té doby ${ displaystyle U_ {j} = (1 + t '_ {j}) alfa}$, my máme

${ displaystyle { frac {t '_ {j}} {1 + t' _ {j}}} = { frac { mu theta alpha} { lambda f}} { frac { částečný} { částečné L}} vlevo ( ln { frac {U_ {j}} {U_ {1}}} vpravo) ;.}$

Ukazuje se tedy, že není třeba zaměstnávat žádné nepřímé daně,^[1] tj. ${ displaystyle t_ {j} = 0}$, za předpokladu, že užitková funkce je slabě oddělitelná mezi prací a veškerým spotřebním zbožím.

Jiný přístup

Joseph Stiglitz vysvětluje, proč je nepřímé zdanění zbytečné, a pohlíží na Atkinson-Stiglitzovu větu z jiné perspektivy.^[4]

Základní pojmy

Předpokládejme, že ti, kteří jsou v kategorii 2, jsou schopnější. Potom pro Paretovo efektivní zdanění, na které se vláda zaměřuje, ukládáme dvě podmínky. První podmínkou je, že užitečnost kategorie 1 je stejná nebo větší než daná úroveň:

${ displaystyle { overline {U}} _ {1} leq V_ {1} (C_ {1}, Y_ {1}) quad.}$

Druhou podmínkou je, že vládní příjmy ${ displaystyle R}$, který je stejný nebo vyšší než požadavek na příjem ${ displaystyle { overline {R}}}$, se zvyšuje o danou částku:

${ displaystyle R = - (C_ {1} -Y_ {1}) N_ {1} - (C_ {2} -Y_ {2}) N_ {2} ;,}$

${ displaystyle { overline {R}} leq R ;,}$

kde ${ displaystyle N_ {1}}$ a ${ displaystyle N_ {2}}$ uveďte počet jednotlivců každého typu. Za těchto podmínek musí vláda maximalizovat užitek ${ displaystyle V_ {2} (C_ {2}, Y_ {2})}$ kategorie 2. Poté zapište Lagrangeovu funkci pro tento problém:

${ displaystyle { mathcal {L}} = V_ {2} (C_ {2}, Y_ {2}) + mu V_ {1} (C_ {1}, Y_ {1}) + lambda _ {2 } (V_ {2} (C_ {2}, Y_ {2}) - V_ {2} (C_ {1}, Y_ {1})) + lambda _ {1} (V_ {1} (C_ {1 }, Y_ {1}) - V_ {1} (C_ {2}, Y_ {2})) + gamma left (- (C_ {1} -Y_ {1}) N_ {1} - (C_ { 2} -Y_ {2}) N_ {2} - { overline {R}} right) ;,}$

což zajišťuje splnění omezení vlastního výběru, získáváme podmínky prvního řádu:

${ displaystyle mu { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {1}}} - lambda _ {2} { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {1} }} + lambda _ {1} { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {1}}} - gamma N_ {1} = 0 ;,}$

${ displaystyle mu { frac { částečné V_ {1}} { částečné Y_ {1}}} - lambda _ {2} { frac { částečné V_ {2}} { částečné Y_ {1} }} + lambda _ {1} { frac { částečné V_ {1}} { částečné Y_ {1}}} + gamma N_ {1} = 0 ;,}$

${ displaystyle { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {2}}} + lambda _ {2} { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {2}}} - lambda _ {1} { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {2}}} - gamma N_ {2} = 0 ;,}$

${ displaystyle { frac { částečné V_ {2}} { částečné Y_ {2}}} + lambda _ {2} { frac { částečné V_ {2}} { částečné Y_ {2}}} - lambda _ {1} { frac { částečné V_ {1}} { částečné Y_ {2}}} + gamma N_ {2} = 0 ;.}$

Pro případ, kdy ${ displaystyle lambda _ {1} = 0}$ a ${ displaystyle lambda _ {2} = 0}$, my máme

${ displaystyle { frac { částečné V_ {i} / částečné Y_ {i}} { částečné V_ {i} / částečné C_ {i}}} + 1 = 0 ;,}$

pro ${ displaystyle i = 1,2}$, a proto může vláda dosáhnout jednorázového zdanění. Pro případ, kdy ${ displaystyle lambda _ {1} = 0}$ a ${ displaystyle lambda _ {2}> 0}$, my máme

${ displaystyle { frac { částečné V_ {2} / částečné Y_ {2}} { částečné V_ {2} / částečné C_ {2}}} + 1 = 0 ;,}$

a zjistíme, že mezní sazba daně pro kategorii 2 je nulová. A pokud jde o kategorii 1, máme

${ displaystyle { frac { částečné V_ {1} / částečné Y_ {2}} { částečné V_ {1} / částečné C_ {1}}} = - { frac {1- lambda _ {2 } ( částečné V_ {2} / částečné Y_ {1}) / N_ {1} gamma} {1+ lambda _ {2} ( částečné V_ {2} / částečné C_ {1}) / N_ {1} gamma}} ;.}$

Pokud dáme ${ displaystyle delta _ {i} = { frac { částečné V_ {i} / částečné Y_ {1}} { částečné V_ {i} / částečné C_ {1}}} ;, quad ( i = 1,2)}$, pak je mezní sazba daně pro kategorii 1 ${ displaystyle delta _ {1} +1}$.

Také máme následující výraz:

${ displaystyle delta _ {1} = - vlevo ({ frac {1- nu delta _ {2}} {1+ nu}} vpravo) ;,}$

kde označujeme ${ displaystyle nu}$ podle

${ displaystyle nu = { frac { lambda _ {2} ( částečné V_ {2} / částečné C_ {1})} {N_ {1} gamma}} ;.}$

Proto, za předpokladu, ${ displaystyle delta _ {1} < delta _ {2}}$, a tak to můžeme přímo dokázat ${ displaystyle -1 < delta _ {1} < delta _ {2}}$. Zjistili jsme tedy, že mezní sazba daně pro kategorii 1 je pozitivní.

Pro případ, kdy ${ displaystyle lambda _ {1}> 0}$ a ${ displaystyle lambda _ {2} = 0}$, mezní sazba daně pro kategorii 2 je záporná. Paušální daň uvalená na jednotlivce kategorie 1 by byla větší než daň pro kategorii 2, pokud by byla jednorázová daň proveditelná.

Různé komodity

Nyní musíme zvážit případ, kdy je úroveň příjmu a několik komodit pozorovatelnou.^{[je zapotřebí objasnění ]} Funkce spotřeby každého jednotlivce je vyjádřena ve vektorovém tvaru jako

${ displaystyle { textbf {C}} _ ​​{1} = součet _ {j} C_ {1j} { textbf {e}} _ {j}}$

${ displaystyle { textbf {C}} _ ​​{2} = součet _ {j} C_ {2j} { textbf {e}} _ {j} ;.}$

V tomto případě je vládní rozpočtové omezení

${ displaystyle R leq sum _ {k = 1} ^ {2} (Y_ {k} N_ {k}) - N_ {1} sum _ {j} C_ {1j} -N_ {2} sum _ {j} C_ {2j} ;.}$

Pak máme

${ displaystyle mu { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {1j}}} - lambda _ {2} { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {1j} }} + lambda _ {1} { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {1j}}} - gamma N_ {1} = 0 ;,}$

${ displaystyle mu { frac { částečné V_ {1}} { částečné Y_ {1}}} - lambda _ {2} { frac { částečné V_ {2}} { částečné Y_ {1} }} + lambda _ {1} { frac { částečné V_ {1}} { částečné Y_ {1}}} + gamma N_ {1} = 0 ;,}$

${ displaystyle { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {2j}}} + lambda _ {2} { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {2j}}} - lambda _ {1} { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {2j}}} - gamma N_ {2} = 0 ;,}$

${ displaystyle { frac { částečné V_ {2}} { částečné Y_ {2}}} + lambda _ {2} { frac { částečné V_ {2}} { částečné Y_ {2}}} - lambda _ {1} { frac { částečné V_ {1}} { částečné Y_ {2}}} + gamma N_ {2} = 0 ;.}$

Zde se omezujeme na případ, kdy ${ displaystyle lambda _ {1} = 0}$ a ${ displaystyle lambda _ {2}> 0}$. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle { frac { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {2j}}} { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {2n}}}} = 1 ;, quad { frac { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {2j}}} { frac { částečné V_ {2}} { částečné Y_ {2}}}} = 1 ;.}$

Předpokládejme, že všichni jedinci mají stejnou indiferenční křivku v rovině C-L. Oddělitelnost mezi volným časem a spotřebou nám umožňuje ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} U_ {k}} { částečné C_ {kj} částečné L_ {k}}} = 0 ;,}$ který přináší

${ displaystyle { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {1j}}} = { frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {1j}}} ;.}$

V důsledku toho získáváme

${ displaystyle { frac { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {1j}}} { frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {1n}}}} = 1 ;.}$

Zjistili jsme tedy, že není nutné ukládat daně z komodit.^[4]

Podmínky pro randomizaci

Musíme vzít v úvahu případ, kdy jednotlivci s vysokou schopností (kteří obvykle vydělávají více peněz, aby prokázali své schopnosti) předstírají, že nejsou tak schopní. V tomto případě by bylo možné tvrdit, že vláda musí randomizovat daně uvalené na osoby s nízkou schopností, za účelem zvýšení efektivity promítání. Je možné, že za určitých podmínek můžeme provést randomizaci daní bez poškození osob s nízkou schopností, a proto diskutujeme o podmínkách. V případě, že se jednotlivec rozhodne ukázat své schopnosti, vidíme, že s ním souvisí daňový plán ${ displaystyle lbrace C_ {2} ^ {*}, Y_ {2} ^ {*} rbrace}$. V případě, že se jednotlivec rozhodne skrýt své schopnosti, vidíme jeden ze dvou daňových plánů: ${ displaystyle lbrace C_ {1} ^ {*}, Y_ {1} ^ {*} rbrace}$ a ${ displaystyle lbrace C_ {1} ^ {**}, Y_ {1} ^ {**} rbrace}$. Randomizace se provádí tak, aby se riziko prvního případu lišilo od rizika druhého případu.

Aby se zabránilo zasažení skupiny s nízkou schopností, musí se průměrná spotřeba u každé posunout nahoru ${ displaystyle Y}$. Protože je spotřeba maximalizována, je vyšší ${ displaystyle { overline {C}} _ ​​{1}}$ je nastavena na vyšší ${ displaystyle { overline {Y}} _ {1}}$. Pak jsou vztahy mezi těmito proměnnými

${ displaystyle C_ {1} ^ {*} = { overline {C}} _ ​​{1} + h ;, quad Y_ {1} ^ {*} = { overline {Y}} _ {1} + lambda h}$

${ displaystyle C_ {1} ^ {**} = { overline {C}} _ ​​{1} -h ;, quad Y_ {1} ^ {**} = { overline {Y}} _ { 1} - lambda h ;.}$

Funkce utility je ${ displaystyle V_ {2} (C_ {1} ^ {*}, Y_ {1} ^ {*})}$ a ${ displaystyle V_ {2} (C_ {1} ^ {**}, Y_ {1} ^ {**})}$, a máme podmínku pro optimální:

${ displaystyle V_ {2C ^ {*}} (d { overline {C}} _ ​​{1} + dh) + V_ {2Y ^ {*}} (d { overline {Y}} _ {1} + lambda dh) + V_ {2C ^ {**}} (d { overline {C}} _ ​​{1} -dh) + V_ {2Y ^ {**}} (d { overline {Y}} _ {1} - lambda dh) = 0 ;,}$

a podobně

${ displaystyle V_ {1C ^ {*}} (d { overline {C}} _ ​​{1} + dh) + V_ {1Y ^ {*}} (d { overline {Y}} _ {1} + lambda dh) + V_ {1C ^ {**}} (d { overline {C}} _ ​​{1} -dh) + V_ {1Y ^ {**}} (d { overline {Y}} _ {1} - lambda dh) = 0 ;.}$

A podle toho máme

${ displaystyle { begin {bmatrix} SV_ {2C} a SV_ {2Y} SV_ {1C} a SV_ {1Y} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} d { overline {C}} d { overline {Y}} end {bmatrix}} = - { begin {bmatrix} DV_ {2C} + lambda DV_ {2Y} DV_ {1C} + lambda DV_ {1C} end {bmatrix} } dh ;,}$

kde ${ displaystyle SV_ {kC} = V_ {kC ^ {*}} + V_ {kC ^ {**}}}$ a ${ displaystyle SV_ {kY} = V_ {kY ^ {*}} + V_ {kY ^ {**}}}$ a ${ displaystyle k = 1,2}$. Podobně ${ displaystyle DV_ {kC} = V_ {kC ^ {*}} - V_ {kC ^ {**}}}$ a ${ displaystyle DV_ {kY} = V_ {kY ^ {*}} - V_ {kY ^ {**}}}$.

Pak máme

${ displaystyle lim _ {h rightarrow 0} { frac {d ({ overline {Y}} - { overline {C}})} {dh}} = { frac {F_ {1} -F_ {2}} {(- 2) (MRS_ {1} -MRS_ {2})}} ;,}$

kde ${ displaystyle MRS_ {k} = - ({ frac { částečné V_ {k}} { částečné C_ {1}}}) ^ {- 1} { frac { částečné V_ {k}} { částečné Y_ {1}}}}$. Co se týče ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$ označujeme je ${ displaystyle F_ {1} = ({ frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ {1}}}) ^ {- 1} M_ {2} (1-MRS_ {1})}$ a ${ displaystyle F_ {2} = ({ frac { částečné V_ {1}} { částečné C_ {1}}}) ^ {- 1} M_ {1} (1-MRS_ {2})}$. Také definujeme ${ displaystyle M_ {k}}$ podle ${ displaystyle M_ {k} = DV_ {kC} + lambda DV_ {kY}}$. Ale první derivace ${ displaystyle { overline {Y}} - { overline {C}}}$ pokud jde o ${ displaystyle h}$, na ${ displaystyle h = 0}$, je nula (protože ${ displaystyle M_ {k} = 0}$), a proto musíme vypočítat jeho druhou derivaci.

${ displaystyle { frac {d ^ {2} ({ overline {Y}} - { overline {C}})} {dh ^ {2}}} = H_ {1} + H_ {2} ; ,}$

kde ${ displaystyle H_ {1} = { frac {d (F_ {1} -F_ {2})} {dh}} { frac {1} {- 2 (MRS_ {1} -MRS_ {2})} }}$ a ${ displaystyle H_ {2} = (- 1) { frac {d ({ overline {Y}} - { overline {C}})} {dh}} { frac {d ln {(-2 ) (MRS_ {1} -MRS_ {2})}} {dh}}}$. A tak ${ displaystyle H_ {2}}$ zmizí v ${ displaystyle h = 0}$. Pak máme

${ displaystyle { frac {d ^ {2} ({ overline {Y}} - { overline {C}})} {dh ^ {2}}} = { frac {I_ {1} + I_ { 2}} {(- 1) (MRS_ {1} -MRS_ {2})}} ; ;.}$

${ displaystyle I_ {1} = (V_ {2CC} +2 lambda V_ {2CY} + lambda ^ {2} V_ {2YY}) ({ frac { částečné V_ {2}} { částečné C_ { 1}}}) ^ {- 1} (1-MRS_ {1})}$

${ displaystyle I_ {2} = (- 1) (V_ {1CC} +2 lambda V_ {1CY} + lambda ^ {2} V_ {1YY}) ({ frac { částečné V_ {1}} { částečný C_ {1}}}) ^ {- 1} (1-MRS_ {2})}$

Od té doby ${ displaystyle MRS_ {2}$získáme podmínku, za níž je randomizace žádoucí:^[4]

${ displaystyle (V_ {2CC} +2 lambda V_ {2CY} + lambda ^ {2} V_ {2YY}) (V_ {1C_ {1}} + V_ {2Y_ {1}}) - (V_ {1CC } +2 lambda V_ {1CY} + lambda ^ {2} V_ {2YY}) (V_ {2C_ {1}} + V_ {2Y_ {1}}) <0 ;.}$

Viz také

• Přerozdělení bohatství
• Paretova optimita

Reference