Aritmetický kulečník - Arithmetic billiards - Wikipedia

Aritmetický kulečník pro čísla 15 a 40: největší společný dělitel je 5, nejméně společný násobek je 120.

V rekreační matematice aritmetický kulečník poskytnout geometrickou metodu pro stanovení nejmenší společný násobek a největší společný dělitel dvou přirozených čísel využitím odrazů uvnitř obdélníku, jehož strany jsou dvě uvedená čísla. Toto je snadný příklad analýzy trajektorie dynamický kulečník.

Aritmetický kulečník popsal Hugo Steinhaus jako matematické hádanky^[1] a Martin Gardner,^[2] a jsou učitelům matematiky známy pod názvem „Paper Pool“.^[3]Byly použity jako zdroj otázek v matematických kruzích.^[4]

Aritmetická kulečníková dráha

Aritmetický kulečník pro čísla 10 a 40.

Zvažte obdélník s celočíselnými stranami a vytvořte cestu uvnitř tohoto obdélníku následujícím způsobem:

začněte v rohu a pohybujte se po přímce, která se stranami svírá úhel 45 °;
pokaždé, když cesta narazí na stranu, odražte ji pod stejným úhlem (cesta se otočí doleva nebo doprava o 90 °);
nakonec (tj. po konečném počtu odrazů) cesta zasáhne roh a tam se zastaví.

Pokud jedna délka strany rozděluje druhou, cesta je a cikcak skládající se z jednoho nebo více segmentů. Jinak má cesta vlastní průniky a skládá se ze segmentů různých délek ve dvou ortogonálních směrech. Obecně je cesta průsečík obdélníku s mřížkou čtverců (orientovaná na 45 ° strany obdélníku).

Aritmetické rysy cesty

Aritmetický kulečník pro čísla 3 a 8: největší společný dělitel je 1, nejméně společný násobek je 24.

Volání ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ délky stran obdélníku a rozdělte je na ${ displaystyle a cdot b}$ jednotkové čtverce. The nejmenší společný násobek ${ displaystyle operatorname {lcm} (a, b)}$ je počet jednotkových čtverců protínajících aritmetickou kulečníkovou dráhu nebo ekvivalentně délka dráhy děleno ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ . Cesta konkrétně prochází každým čtvercem jednotky právě tehdy ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou coprime.

Předpokládejme, že žádná ze dvou délek stran nerozdělí druhou. Poté první segment aritmetické kulečníkové dráhy obsahuje bod vlastního průniku, který je nejblíže výchozímu bodu. The největší společný dělitel ${ displaystyle gcd (a, b)}$ je počet jednotkových čtverců překročených prvním segmentem cesty až do tohoto bodu vlastní křižovatky.

The počet skákacích bodů pro aritmetickou kulečníkovou dráhu na obou stranách délky ${ displaystyle a}$ rovná se ${ displaystyle (a / operatorname {gcd} (a, b)) - 1}$ a podobně ${ displaystyle (b / operatorname {gcd} (a, b)) - 1}$ pro dvě strany délky ${ displaystyle b}$ . Zejména pokud ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou coprime, pak se celkový počet kontaktních bodů mezi cestou a obvodem obdélníku (tj. skákací body plus počáteční a koncový roh) rovná ${ displaystyle a + b}$ .

The koncový roh cesty je naproti startovnímu rohu právě tehdy ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou přesně dělitelné stejnou silou dvou (například jsou-li obě liché), jinak je to jeden ze dvou sousedních rohů, podle toho, zda ${ displaystyle a}$ nebo ${ displaystyle b}$ má více faktorů ${ displaystyle 2}$ v jeho primární faktorizace.

Cesta je symetrický: pokud je počáteční a koncový roh protilehlý, pak je cesta bodově symetrická w.r.t. střed obdélníku, jinak je symetrický vzhledem k půlící straně strany spojující počáteční a koncový roh.

Kontaktní body mezi aritmetickou kulečníkovou dráhou a obvodem obdélníku jsou rovnoměrně rozloženy: vzdálenost po obvodu (tj. Možná za rohem) mezi dvěma takovými sousedními body se rovná ${ displaystyle 2 gcd (a, b)}$ .

Nastavte souřadnice v obdélníku tak, aby byl výchozí bod ${ displaystyle (0,0)}$ a opačný roh je ${ displaystyle (a, b)}$ . Pak jakýkoli bod na aritmetické kulečníkové cestě, který má celočíselné souřadnice, má vlastnost, že součet souřadnic je sudý (parita se nemůže změnit pohybem po úhlopříčkách jednotkových čtverců). Body vlastního průniku cesty, skákací body a počáteční a koncový roh jsou přesně ty body v obdélníku, jejichž souřadnice jsou násobky ${ displaystyle gcd (a, b)}$ a takový, že součet souřadnic je sudý násobek ${ displaystyle gcd (a, b)}$ .

Myšlenky na důkaz

Odražením kulečníku můžeme vizualizovat cestu jako přímku. V tomto příkladu je poměr dvou daných čísel 2/3.

Odráží kulečník: Zvažte čtverec se stranou ${ displaystyle operatorname {lcm} (a, b)}$ . Zobrazením více kopií původního obdélníku (se zrcadlovou symetrií) můžeme vizualizovat aritmetickou kulečníkovou dráhu jako úhlopříčku tohoto čtverce. Jinými slovy, můžeme uvažovat spíše o odrážení obdélníku než segmentů cesty.

Snížení na případ coprime: Je vhodné změnit velikost dělení obdélníku ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jejich největším společným dělitelem, operací, která nemění geometrii dráhy (např. počet skákacích bodů).

Obrácení času: Pohyb cesty je „časově reverzibilní“, což znamená, že pokud cesta aktuálně prochází jedním konkrétním jednotkovým čtvercem (v určitém směru), pak není pochyb o tom, ze kterého jednotkového čtverce a ze kterého směru právě vyšel.^[4]

Důkaz lze najít v popularizačním článku.^[5]

Jedna generalizace

Periodická dráha ve zobecněném aritmetickém kulečníku se stranami 35 a 14.

Pokud povolíme, aby počátečním bodem cesty byl libovolný bod v obdélníku s celočíselnými souřadnicemi, pak existují také periodické cesty, pokud strany obdélníku nejsou coprime. Délka jakékoli periodické dráhy se rovná ${ displaystyle 2 operatorname {lcm} (a, b) cdot { sqrt {2}}}$ .

Reference

^ Steinhaus, Hugo (1999). Matematické snímky (Dover Recreational Math Series ed.). Courier Corporation. p. 63. ISBN 0486409147.
^ Gardner, Martin (1984). Šestá kniha matematických odchylek od „Scientific American“. University of Chicago Press. 211–215. ISBN 0226282503.
^ "Paper Pool Game". Osvětlení NCTM. Národní rada učitelů matematiky. Citováno 10. ledna 2018.
^ ^A ^b Tanton, James (2012). Mathematical Galore! Prvních pět let Matematického ústavu svatého Marka. Matematická asociace Ameriky. str. 145–156. ISBN 0883857766.
^ Perucca, Antonella (24. dubna 2018). „Aritmetický kulečník“. Plus Magazine. Univerzita v Cambridge. Citováno 23. prosince 2018.

[Steinhaus-1] Steinhaus, Hugo (1999). Matematické snímky (Dover Recreational Math Series ed.). Courier Corporation. p. 63. ISBN 0486409147.

[Gardner-2] Gardner, Martin (1984). Šestá kniha matematických odchylek od „Scientific American“. University of Chicago Press. 211–215. ISBN 0226282503.

[NCTM-3] "Paper Pool Game". Osvětlení NCTM. Národní rada učitelů matematiky. Citováno 10. ledna 2018.

[Tanton-4] A ^b Tanton, James (2012). Mathematical Galore! Prvních pět let Matematického ústavu svatého Marka. Matematická asociace Ameriky. str. 145–156. ISBN 0883857766.

[Perucca-5] Perucca, Antonella (24. dubna 2018). „Aritmetický kulečník“. Plus Magazine. Univerzita v Cambridge. Citováno 23. prosince 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]