Sousedící-vrchol-rozlišující-celkové zbarvení - Adjacent-vertex-distinguishing-total coloring

Správné celkové zbarvení AVD kompletní graf K.4 s 5 barvami, minimální možný počet.

v teorie grafů, a celkové zbarvení je zbarvení na vrcholech a okrajích grafu, které:

(1). žádné sousední vrcholy nemají stejnou barvu;

(2). žádné sousední hrany nemají stejnou barvu; a

(3). žádná hrana a její končetiny nemají stejnou barvu.

V roce 2005 Zhang et al.[1] přidal omezení do definice celkového zbarvení a navrhl nový typ barvení definovaný následujícím způsobem.

Nechat G = (PROTI,E) být jednoduchý graf s celkovým zbarvením φ, a let u být vrcholem G. Sada barev, které dojde ve vrcholu u je definován jako C(u) = {φ(u)} ∪ {φ(uv) | uv ∈ E(G)}. Dva vrcholy u,proti ∈ PROTI(G) jsou rozlišitelný pokud jsou jejich barevné sady odlišné, tj. C(u) ≠ C(proti).

v teorie grafů, celkové zbarvení je přilehlý-vrchol-rozlišovací-celkové zbarvení (AVD-total-colored), pokud má následující doplňkovou vlastnost:

(4). pro každé dva sousední vrcholy u,proti grafu G, jejich sady barev jsou navzájem odlišné, tj. C(u) ≠ C(proti).

The přilehlý-vrchol-rozlišovací-celkové-chromatické číslo χna(G) grafu G je nejméně barev potřebných pro celkové zbarvení AVD G.

Následující dolní mez pro celkové barevné číslo AVD lze získat z definice AVD-celkového zbarvení: Je-li jednoduchý graf G má tedy dva sousední vrcholy maximálního stupně χna(G) ≥ Δ (G) + 2.[2] Jinak, pokud jednoduchý graf G nemá tedy dva sousední vrcholy maximálního stupně χna(G) ≥ Δ (G) + 1.

V roce 2005 Zhang et al. určili AVD-celkový-chromatický počet pro některé třídy grafů a na základě svých výsledků předpokládali následující.

AVD-Total-Coloring Conjecture. (Zhang et al.[3])

χna(G) ≤ Δ (G) + 3.

Je známo, že AVD-Total-Coloring Conjecture platí pro některé třídy grafů, například kompletní grafy,[4] grafy s Δ = 3,[5][6] a všechno bipartitní grafy.[7]

V roce 2012 Huang et al.[8] to ukázal χna(G) ≤ 2Δ (G) pro jakýkoli jednoduchý graf G s maximálním stupněm Δ (G)> 2. V roce 2014 Papaioannou a Raftopoulou[9] popsal algoritmický postup, který dává 7-AVD-celkové zbarvení pro jakýkoli 4-pravidelný graf.

Poznámky

  1. ^ Zhang 2005.
  2. ^ Zhang 2005, s. 290.
  3. ^ Zhang 2005, s. 299.
  4. ^ Hulgan 2009, s. 2.
  5. ^ Hulgan 2009, s. 2.
  6. ^ Chen 2008.
  7. ^ Zhang 2005.
  8. ^ Huang2012
  9. ^ Papaioannou2014

Reference

  • Zhang, Zhong-fu; Chen, Xiang-en; Li, Jingwen; Yao, Bing; Lu, Xinzhong; Wang, Jianfang (2005). "O celkovém zbarvení grafů rozlišujících sousední vrcholy". Science China Mathematics. 48 (3): 289–299. doi:10.1360 / 03ys0207.
  • Hulgan, Jonathan (2009). "Stručné důkazy pro přilehlé vrcholové rozlišující celkové barvy." Diskrétní matematika. 309 (8): 2548–2550. doi:10.1016 / j.disc.2008.06.002.
  • Chen, Xiang'en (2008). Msgstr "Na sousedním vrcholu rozlišující celkový počet vybarvení grafů s Delta = 3". Diskrétní matematika. 308 (17): 4003–4007. doi:10.1016 / j.disc.2007.07.091.
  • Huang, D .; Wang, W .; Yan, C. (2012). "Poznámka k sousednímu vrcholu rozlišující celkový chromatický počet grafů". Diskrétní matematika. 312 (24): 3544–3546. doi:10.1016 / j.disc.2012.08.006.
  • Chen, Meirun; Guo, Xiaofeng (2009). "Sousedící vrchol rozlišující hrana a celkový chromatický počet hyperkrychlí". Dopisy o zpracování informací. 109 (12): 599–602. doi:10.1016 / j.ipl.2009.02.006.
  • Wang, Yiqiao; Wang, Weifan (2010). Msgstr "Sousední vrchol rozlišující celkové barvy vnějších rovinných grafů". Journal of Combinatorial Optimization. 19 (2): 123–133. doi:10.1007 / s10878-008-9165-x.
  • P. de Mello, Célia; Pedrotti, Vagner (2010). "Sousedící s vrcholem rozlišující celkové zbarvení indiferenčních grafů" (PDF). Matematica Contemporanea. 39: 101–110.[trvalý mrtvý odkaz ]
  • Wang, Weifan; Huang, Danjun (2012). Msgstr "Sousední vrchol rozlišující celkové zbarvení rovinných grafů". Journal of Combinatorial Optimization. 27 (2): 379. doi:10.1007 / s10878-012-9527-2.
  • Chen, Xiang-en; Zhang, Zhong-fu (2008). Msgstr "Počty AVDTC zobecněných Halinových grafů s maximálním stupněm alespoň 6". Acta Mathematicae Applicatae Sinica. 24 (1): 55–58. doi:10.1007 / s10878-012-9527-2.
  • Huang, Danjun; Wang, Weifan; Yan, Chengchao (2012). "Poznámka k sousednímu vrcholu rozlišující celkový chromatický počet grafů". Diskrétní matematika. 312 (24): 3544–3546. doi:10.1016 / j.disc.2012.08.006.
  • Papaioannou, A .; Raftopoulou, C. (2014). „K AVDTC čtyř pravidelných grafů“. Diskrétní matematika. 330: 20–40. doi:10.1016 / j.disc.2014.03.019.
  • Luiz, Atílio G .; Campos, C.N .; de Mello, C.P. (2015). "AVD - celkové vybarvení kompletních ekvipartitních grafů". Diskrétní aplikovaná matematika. 184: 189. doi:10.1016 / j.dam.2014.11.006.