Rozklad aditivního stavu - Additive state decomposition

Rozklad aditivního stavu nastane, když a Systém je rozložen na dva nebo více subsystémy se stejným dimenze jako u původního systému.^[1]^[2] Běžně používaným rozkladem v řídicím poli je rozklad systému na dva nebo více subsystémů nižšího řádu, zde nazývaných rozklad subsystému nižšího řádu. Naproti tomu rozkladem aditivního stavu je rozložení systému na dva nebo více subsystémů se stejnou dimenzí jako v původním systému.^[3]

Vezmeme-li systém $P$ například se rozkládá na dva subsystémy: $P p$ a $P s$ , kde $ztlumit(P p) = n p$ a $ztlumit(P s) = n s$ , resp. Rozklad subsystému nižšího řádu uspokojuje

{ displaystyle n = n_ {p} + n_ {s} { text {and}} P = P_ {p} oplus P_ {s}}

Naproti tomu rozklad aditivního stavu vyhovuje

{ displaystyle n = n_ {p} = n_ {s} { text {and}} P = P_ {p} + P_ {s}}

Na dynamickém řídicím systému

Zvažte „originální“ systém následovně:

{ displaystyle { dot {x}} = f (t, x, u), x (0) = x_ {0}}

(1)

kde ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ .

Nejprve je zaveden „primární“ systém, který má stejný rozměr jako původní systém:

{ displaystyle { dot {x}} _ {p} = f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}),}

{ displaystyle x_ {p} (0) = x_ {p, 0}}

(2)

kde ${ displaystyle x_ {p} in mathbb {R} ^ {n}.}$

Z původního systému a primárního systému je odvozen následující „sekundární“ systém:

{ displaystyle { dot {x}} - { dot {x}} _ {p} = f (t, x, u) -f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}), x (0) = x_ {0}}

Nové proměnné ${ displaystyle x_ {s} in mathbb {R} ^ {n}}$ jsou definovány takto:

{ displaystyle x_ {s} = x-x_ {p},}

{ displaystyle u_ {s} = u-u_ {p}.}

(3)

Potom lze sekundární systém dále zapsat takto:

{ displaystyle { dot {x}} _ {s} = f (t, x_ {p} + x_ {s}, u_ {p} + u_ {s})}

{ displaystyle -f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}), x_ {s} (0) = x_ {0} -x_ {p, 0},}

(4)

Z definice (3), následuje

{ displaystyle x (t) = x_ {p} (t) + x_ {s} (t),}

{ displaystyle t geq 0.}

Proces je zobrazen na tomto obrázku:

Příklady

Příklad 1

Ve skutečnosti byla myšlenka rozkladu aditivního stavu implicitně zmíněna v existující literatuře. Existujícím příkladem je návrh řadiče sledování, který k odvození dynamiky chyb často vyžaduje referenční systém. Předpokládá se, že referenční systém (primární systém) je uveden takto:

{ displaystyle { dot {x}} _ {r} = f (t, x_ {r}, u_ {r}),}

{ displaystyle x_ {r} (0) = x_ {r, 0}}

Na základě referenčního systému se dynamika chyb (sekundární systém) odvozuje takto:

{ displaystyle { dot {x}} _ {e}}

{ displaystyle = f (t, x_ {e} + x_ {r}, u) -f (t, x_ {r}, u_ {r}),}

{ displaystyle x_ {e} (0) = x_ {0} -x_ {r, 0}}

kde ${ displaystyle x_ {e} = x-x_ {r}}$

Toto je běžně používaný krok k transformaci problému se sledováním na problém se stabilizací, když se používá adaptivní řízení.

Příklad 2

Zvažte třídu systémů takto:

{ displaystyle { dot {x}} (t) = levý (A + Delta A (t) pravý) x (t) + A_ {d} x (t-T) + Br (t)}

${ displaystyle e (t) = - vlevo (C + Delta C (t) vpravo) x (t) + r (t)}$

{ displaystyle x ( theta) = phi ( theta), theta v [-T, 0]}

(5)

Vybrat (5) jako původní systém a navrhněte primární systém následovně:

{ displaystyle { dot {x}} _ {p} (t) = Ax_ {p} (t) + A_ {d} x_ {p} (t-T) + Br (t)}

${ displaystyle e_ {p} (t) = - Cx_ {p} (t) + r (t)}$

{ displaystyle x_ {p} ( theta) = phi ( theta), theta v [-T, 0]}

(6)

Potom je sekundární systém určen pravidlem (4):

{ displaystyle { dot {x}} _ {s} (t) = levý (A + Delta A (t) pravý) x_ {s} (t) + A_ {d} x_ {s} (tT) + Delta A (t) x_ {p} (t)}

${ displaystyle e_ {s} (t) = - vlevo (C + Delta C (t) vpravo) x_ {s} (t) - Delta C (t) x_ {p} (t)}$

{ displaystyle x_ {s} ( theta) = 0, theta v [-T, 0]}

(7)

Rozkladem aditivního stavu

{ displaystyle e (t) = e_ {p} (t) + e_ {s} (t)}

Od té doby

{ displaystyle | e (t) | leq | e_ {p} (t) | + | e_ {s} (t) |}

chyba sledování $E (t)$ lze analyzovat pomocí $E p (t)$ a $E s (t)$ odděleně. Li $E p (t)$ a $E s (t)$ jsou ohraničené a malé, pak také jsou $E (t)$ . Naštěstí si všimněte, že (6) je lineární časově invariantní systém a je nezávislý na sekundárním systému (7), pro jejichž analýzu je k dispozici mnoho nástrojů, jako je funkce přenosu. Naproti tomu nástroj pro přenos funkcí nelze přímo použít na původní systém (5), protože se časově mění.

Příklad 3

Zvažte třídu nelineárních systémů takto:

{ displaystyle { dot {x}} = Sekera + bu + phi (y) + d, x (0) = x_ {0}}

{ displaystyle y = c ^ {T} x}

(8)

kde $X, y, u$ představují stav, výstup a vstup; funkce $φ (•)$ je nelineární. Cílem je navrhnout $u$ takhle $y - r \to 0$ tak jako $t \to \infty$ . Vybrat (8) jako původní systém a navrhněte primární systém následovně:

{ displaystyle { dot {x}} _ {p} = Ax_ {p} + bu_ {p} + phi (r) + d, x_ {p} (0) = x_ {0}}

{ displaystyle y_ {p} = c ^ {T} x_ {p}}

(9)

Potom je sekundární systém určen pravidlem (4):

{ displaystyle { dot {x}} _ {s} = Ax_ {s} + bu_ {s} + phi left (c ^ {T} x_ {p} + c ^ {T} x_ {s} vpravo) - phi (r), x_ {s} (0) = 0}

{ displaystyle y_ {s} = c ^ {T} x_ {s}}

(10)

kde $u s = u p$ . Pak $X = X p + X s$ a $y = y p + y s$ . Tady úkol $y p \to 0$ je přiřazen lineárnímu časově invariantnímu systému (9) (lineární časově invariantní systém je jednodušší než nelineární). Na druhou stranu úkol $X s \to 0$ je přiřazen nelineárnímu systému (10) (problém se stabilizační kontrolou je jednodušší než problém se sledováním). Pokud jsou tyto dva úkoly splněny, pak $y = y p + y s \to 0$ . Základní myšlenkou je rozložit původní systém na dva subsystémy odpovědné za jednodušší dílčí úkoly. Pak jeden navrhne řadiče pro dva dílčí úkoly a nakonec je zkombinuje, aby dosáhl původní řídicí úlohy. Proces je zobrazen na tomto obrázku:

Srovnání s princip superpozice

Známým příkladem implicitně používajícím aditivní rozklad stavu je princip Superpozice, široce používaný ve fyzice a inženýrství.
princip superpozice: U všech lineárních systémů je čistá reakce v daném místě a čase způsobená dvěma nebo více podněty součtem odpovědí, které by byly způsobeny každým podnětem samostatně. Pro jednoduchý lineární systém:

{ displaystyle { dot {x}} = Sekera + B (u_ {1} + u_ {2})}

,

{ displaystyle x (0) = 0}

prohlášení o principu superpozice znamená $X = X p + X s$ , kde

{ displaystyle { dot {x}} _ {p} = Ax_ {p} + Bu_ {1}, x_ {p} (0) = 0}

{ displaystyle { dot {x}} _ {s} = Ax_ {s} + Bu_ {2}, x_ {s} (0) = 0}

Je zřejmé, že tento výsledek lze odvodit také z rozkladu aditivního stavu. Princip superpozice a rozklad aditivního stavu mají navíc následující vztah: Z tabulky 1 lze rozklad aditivního stavu použít nejen na lineární systémy, ale také na nelineární systémy.

	Vhodné systémy	Důraz
Princip superpozice	Lineární	Superpozice
Rozklad aditivního stavu	Lineární nelineární	Rozklad

Aplikace

Při stabilizaci řízení se používá rozklad aditivního stavu,^[4] a lze jej rozšířit na aditivní dekompozici výstupu.^[5]

Reference

^ Olof Staffans (24. února 2005). Dobře umístěné lineární systémy. Cambridge University Press. str.13 –. ISBN 978-0-521-82584-9.
^ Poskytování kvality služeb v heterogenních prostředích. Elsevier. 626–. ISBN 978-0-444-51455-4.
^ David Eisenbud (1. července 1999). Komutativní algebra, algebraická geometrie a výpočetní metody. Springer Singapur. str. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0.
^ Quan Quan, Guangxun Du, Kai-Yuan Cai. „Aditivní stav-rozklad-dynamická inverze stabilizovaná kontrola pro třídu nejistých MIMO systémů,“ https://arxiv.org/abs/1211.6821
^ Quan Quan, Kai-Yuan Cai. „Řízení sledování dynamické inverze založené na aditivním výstupu a rozkladu pro třídu nejistých lineárních časově proměnných systémů,“ 51. konference IEEE o rozhodování a řízení, 2012, Maui, Havaj, USA, 2866–2871.

Další čtení

Quan, Quan a Kai-Yuan Cai (2009). "Additive Decomposition and its applications to Internal-Model-Based Tracking,". Společná 48. konference IEEE o rozhodování a kontrole a 28. čínská konference o kontrole, Šanghaj, Čína. 817–822.
Quan Quan, Hai Lin, Kai-Yuan Cai (2014). „Řízení zpětné vazby výstupu pomocí rozkladu aditivního stavu pro třídu nejistých systémů,“ International Journal of Systems Science 45(9): 1799–1813.
Quan Quan, Kai-Yuan Cai, Hai Lin (2015). „Rámec pro sledování sledování založený na aditivním stavu a rozkladu pro třídu systémů s minimální fází s měřitelnými nelinearitami a neznámými poruchami,“ International Journal of Robust and Nonlinear Control 25(2):163–178
Quan Quan, Lu Jiang, Kai-Yuan Cai. "Diskrétní časová výstupní zpětná vazba Robustní opakované řízení pro třídu nelineárních systémů podle aditivního rozkladu stavu"

[Staffans2005-1] Olof Staffans (24. února 2005). Dobře umístěné lineární systémy. Cambridge University Press. str.13 –. ISBN 978-0-521-82584-9.

[2] Poskytování kvality služeb v heterogenních prostředích. Elsevier. 626–. ISBN 978-0-444-51455-4.

[Eisenbud1999-3] David Eisenbud (1. července 1999). Komutativní algebra, algebraická geometrie a výpočetní metody. Springer Singapur. str. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0.

[4] Quan Quan, Guangxun Du, Kai-Yuan Cai. „Aditivní stav-rozklad-dynamická inverze stabilizovaná kontrola pro třídu nejistých MIMO systémů,“ https://arxiv.org/abs/1211.6821

[5] Quan Quan, Kai-Yuan Cai. „Řízení sledování dynamické inverze založené na aditivním výstupu a rozkladu pro třídu nejistých lineárních časově proměnných systémů,“ 51. konference IEEE o rozhodování a řízení, 2012, Maui, Havaj, USA, 2866–2871.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]