Aditivní Markovův řetězec - Additive Markov chain

v teorie pravděpodobnosti, an aditivní Markovův řetězec je Markovův řetězec s přísada podmíněná pravděpodobnost funkce. Zde je proces diskrétní čas Markovský řád m a pravděpodobnost přechodu do stavu v příštím čase je součtem funkcí, z nichž každá závisí na dalším stavu a jedné z m předchozí státy.

Definice

Doplňkový řetězec objednávek Markov m je posloupnost náhodné proměnné X₁, X₂, X₃, ..., vlastnit následující vlastnost: pravděpodobnost, že náhodná proměnná X_n má určitou hodnotu X_n za podmínky, že jsou hodnoty všech předchozích proměnných pevné, závisí na hodnotách m pouze předchozí proměnné (Markovův řetězec řádu m) a vliv předchozích proměnných na vygenerovanou je aditivní,

${displaystyle Pr (X_ {n} = x_ {n} střední X_ {n-1} = x_ {n-1}, X_ {n-2} = x_ {n-2}, tečky, X_ {nm} = x_ {nm}) = součet _ {r = 1} ^ {m} f (x_ {n}, x_ {nr}, r).}$

Binární případ

A binární aditivní Markovův řetězec je místo, kde státní prostor řetězce se skládá pouze ze dvou hodnot, X_n ∈ { X₁, X₂ }. Například, X_n ∈ {0, 1}. Funkci podmíněné pravděpodobnosti binárního aditivního Markovova řetězce lze reprezentovat jako

${displaystyle Pr (X_ {n} = 1mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, X_ {n-2} = x_ {n-2}, dots) = {ar {X}} + součet _ {r = 1} ^ {m} F (r) (x_ {nr} - {ar {X}}),}$

${displaystyle Pr (X_ {n} = 0mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, X_ {n-2} = x_ {n-2}, dots) = 1-Pr (X_ {n} = 1mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, X_ {n-2} = x_ {n-2}, tečky).}$

Tady ${displaystyle {ar {X}}}$ je pravděpodobnost najít X_n = 1 v pořadí aF(r) se označuje jako paměťová funkce. Hodnota ${displaystyle {ar {X}}}$ a funkce F(r) obsahují všechny informace o korelace vlastnosti Markovova řetězce.

Vztah mezi paměťovou funkcí a korelační funkcí

V binárním případě je korelační funkce mezi proměnnými ${displaystyle X_ {n}}$ a ${displaystyle X_ {k}}$ řetězu závisí na vzdálenosti ${displaystyle n-k}$ pouze. Je definován takto:

${displaystyle K (r) = langle (X_ {n} - {ar {X}}) (X_ {n + r} - {ar {X}}) úhel = langle X_ {n} X_ {n + r} úhel - {ar {X}} ^ {2},}$

kde symbol ${displaystyle langle cdots angle}$ znamená průměrování ve všech n. Podle definice,

${displaystyle K (-r) = K (r), K (0) = {ar {X}} (1- {ar {X}}).}$

Mezi paměťovou funkcí a korelační funkcí binárního aditivního Markovova řetězce existuje vztah:^[1]

${displaystyle K (r) = součet _ {s = 1} ^ {m} K (r-s) F (s) ,,,,, r = 1,2, tečky,.}$

Viz také

• Příklady markovských řetězců

Poznámky

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• A.A. Markov. (1906) „Rasprostranenie zakona bol'shih sekáč na velichiny, zavisyaschie droga ot druga“. Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 2-ya seriya, Tom 15, 135–156
• A.A. Markov. (1971) „Rozšíření limitních vět o teorii pravděpodobnosti na součet proměnných spojených v řetězci“. přetištěno v příloze B: R. Howarda. Dynamické pravděpodobnostní systémy, svazek 1: Markovovy řetězce. John Wiley and Sons
• S. Hod; U. Keshet (2004). "Fázový přechod v náhodných procházkách s korelacemi na velké vzdálenosti". Phys. Rev.. 70: 015104. arXiv:cond-mat / 0311483. Bibcode:2004PhRvE..70a5104H. doi:10.1103 / PhysRevE.70.015104.
• S.L. Narasimhan; J.A. Nathan; K.P.N. Murthy (2005). „Může hrubozrnné zavést korelace na velké vzdálenosti v symbolické posloupnosti?“. Europhys. Lett. 69 (1): 22. arXiv:cond-mat / 0409042. Bibcode:2005EL ..... 69 ... 22N. doi:10.1209 / epl / i2004-10307-2.
• Ramakrishnan, S. (1981) „Finitely Additive Markov Chains“, Transakce Americké matematické společnosti, 265 (1), 247–272 JSTOR  1998493