Ackermannova teorie množin - Ackermann set theory - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Ackermannova teorie množin je verze axiomatická teorie množin navrhl Wilhelm Ackermann v roce 1956.

Jazyk

Ackermannova teorie množin je formulována v logika prvního řádu. Jazyk ${ displaystyle L_ {A}}$ sestává z jednoho binárního vztahu ${ displaystyle in}$ a jedna konstanta ${ displaystyle V}$ (Ackermann použil predikát ${ displaystyle M}$ namísto). Budeme psát ${ displaystyle x in y}$ pro ${ displaystyle in (x, y)}$. Zamýšlený výklad ${ displaystyle x in y}$ je to objekt ${ displaystyle x}$ je ve třídě ${ displaystyle y}$. Zamýšlený výklad ${ displaystyle V}$ je třída všech sad.

Axiomy

Axiomy Ackermannovy teorie množin, souhrnně označované jako A, se skládají z univerzální uzavření následujících vzorců v jazyce ${ displaystyle L_ {A}}$

1) Axiom extenzivity:

${ displaystyle forall x forall y ( forall z (z in x leftrightarrow z in y) rightarrow x = y).}$

2) Schéma axiomu konstrukce třídy: Nechte ${ displaystyle F (y, z_ {1}, tečky, z_ {n})}$ být jakýkoli vzorec, který neobsahuje proměnnou ${ displaystyle x}$ volný, uvolnit.

${ displaystyle forall y (F (y, z_ {1}, dots, z_ {n}) rightarrow y in V) rightarrow existuje x forall y (y in x leftrightarrow F (y, z_ {1}, dots, z_ {n}))}$

3) Schéma reflexního axiomu: Let ${ displaystyle F (y, z_ {1}, tečky, z_ {n})}$ být jakýkoli vzorec, který neobsahuje konstantní symbol ${ displaystyle V}$ nebo proměnná ${ displaystyle x}$ volný, uvolnit. Li ${ displaystyle z_ {1}, tečky, z_ {n} ve V}$ pak

${ displaystyle forall y (F (y, z_ {1}, dots, z_ {n}) rightarrow y in V) rightarrow existuje x (x in V land forall y (y in x leftrightarrow F (y, z_ {1}, dots, z_ {n}))).}$

4) Axiomy úplnosti pro ${ displaystyle V}$

${ displaystyle x in y land y in V rightarrow x in V}$ (někdy nazývaný axiom dědičnosti)

${ displaystyle x subseteq y land y ve V rightarrow x ve V.}$

5) Axiom pravidelnosti pro množiny:

${ Displaystyle x in V land existuje y (y in x) rightarrow existuje y (y in x land lnot existuje z (z v y land z v x)).}$

Vztah k teorii množin Zermelo – Fraenkel

Nechat ${ displaystyle F}$ být vzorec prvního řádu v jazyce ${ displaystyle L _ { in} = { in }}$ (tak ${ displaystyle F}$ neobsahuje konstantu ${ displaystyle V}$). Definujte "omezení ${ displaystyle F}$ do vesmíru množin “(označeno ${ displaystyle F ^ {V}}$) je vzorec, který se získá rekurzivním nahrazením všech podvzorec z ${ displaystyle F}$ formuláře ${ displaystyle forall xG (x, y_ {1} tečky, y_ {n})}$ s ${ displaystyle forall x (x ve V rightarrow G (x, y_ {1} tečky, y_ {n}))}$ a všechny dílčí vzorce formuláře ${ displaystyle existuje xG (x, y_ {1} tečky, y_ {n})}$ s ${ displaystyle existuje x (x ve V land G (x, y_ {1} tečky, y_ {n}))}$.

V roce 1959 Azriel Levy dokázal, že pokud ${ displaystyle F}$ je vzorec ${ displaystyle L _ { in}}$ a A dokazuje ${ displaystyle F ^ {V}}$, pak ZF dokazuje ${ displaystyle F}$

V roce 1970 William Reinhardt dokázal, že pokud ${ displaystyle F}$ je vzorec ${ displaystyle L _ { in}}$ a ZF dokazuje ${ displaystyle F}$, pak se ukáže A. ${ displaystyle F ^ {V}}$.

Ackermannova teorie množin a teorie kategorií

Nejpozoruhodnějším rysem Ackermannovy teorie množin je to, na rozdíl od toho Von Neumann – Bernays – Gödel teorie množin, a správná třída může být prvkem jiné vlastní třídy (viz Fraenkel, Bar-Hillel, Levy (1973), s. 153).

Rozšíření (pojmenované ARC) Ackermannovy teorie množin vyvinul F.A. Muller (2001), který uvedl, že ARC „zakládá kantorskou teorii množin i teorii kategorií, a proto může projít jako zakládající teorie celé matematiky“.^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

• Teorie množin Zermelo

Reference

• Ackermann, Wilhelm „Zur Axiomatik der Mengenlehre“ v Mathematische Annalen, 1956, sv. 131, s. 336--345.
• Levy, Azriel „Na Ackermannovu teorii množin“ Journal of Symbolic Logic Vol. 24, 1959, 154--166
• Reinhardt, William „„ Ackermannova teorie množin se rovná ZF “ Annals of Mathematical Logic Vol. 2, 1970 č. 2, 189--249
• A.A.Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A.Levy, 1973. Základy teorie množin, druhé vydání, North-Holand, 1973.
• F.A. Muller, „Sady, třídy a kategorie“ British Journal for the Philosophy of Science 52 (2001) 539-573.