Abelsova nerovnost - Abels inequality - Wikipedia

v matematika, Ábelova nerovnost, pojmenoval podle Niels Henrik Abel, dodává jednoduchou vazbu na absolutní hodnotu vnitřní produkt dvou vektorů v důležitém zvláštním případě.

Matematický popis

Nechť {A₁, a₂,...} být posloupností reálná čísla to je buď nerůstající, nebo neklesající, a nechť {b₁, b₂,...} být posloupností skutečných nebo komplexní čísla. Pokud {A_n} neklesá, to platí

${ displaystyle left | sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} right | leq operatorname {max} _ {k = 1, dots, n} | B_ { k} | (| a_ {n} | + a_ {n} -a_ {1}),}$

a pokud {A_n} se nezvyšuje, platí to

${ displaystyle left | sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} right | leq operatorname {max} _ {k = 1, dots, n} | B_ { k} | (| a_ {n} | -a_ {n} + a_ {1}),}$

kde

${ displaystyle B_ {k} = b_ {1} + cdots + b_ {k}.}$

Zejména pokud sekvence {A_n} je nezvyšující a nezáporná, z toho vyplývá

${ displaystyle left | sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} right | leq operatorname {max} _ {k = 1, dots, n} | B_ { k} | a_ {1},}$

Vztah k Ábelova transformace

Ábelova nerovnost snadno vyplývá z Ábelovy transformace, což je diskrétní verze integrace po částech: Pokud{A₁, A₂, ...} a {b₁, b₂, ...} jsou posloupnosti reálných nebo komplexních čísel, platí to

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} = a_ {n} B_ {n} - sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k } (a_ {k + 1} -a_ {k}).}$

Reference

• Weisstein, Eric W. „Ábelova nerovnost“. MathWorld.
• Ábelova nerovnost v Encyclopedia of Mathematics.