ΑΒΒ - αΒΒ - Wikipedia

αΒΒ je druhého řádu deterministická globální optimalizace algoritmus pro nalezení optima obecných, dvakrát spojitě diferencovatelných funkcí.^[1]^[2] Algoritmus je založen na vytvoření a relaxace pro nelineární funkce obecného tvaru tím, že je superponuje kvadratem dostatečné velikosti zvaným α, takže výsledná superpozice stačí k překonání nejhoršího scénáře nekonvexnosti původní funkce. Protože kvadratický má úhlopříčku Hesenská matice, tato superpozice v podstatě přidává číslo ke všem diagonálním prvkům původního pytloviny, takže výsledná pytlovina je kladně semidefinitní. Výsledná relaxace je tedy a konvexní funkce.

Teorie

Nechte funkci ${ displaystyle {f ({ boldsymbol {x}}) v C ^ {2}}}$ být funkcí obecné nelineární nekonvexní struktury definované v konečném poli ${ displaystyle X = {{ boldsymbol {x}} in mathbb {R} ^ {n}: { boldsymbol {x}} ^ {L} leq { boldsymbol {x}} leq { tučný symbol {x}} ^ {U} }}$ .Pak konvexní podcenění (relaxace) ${ displaystyle L ({ boldsymbol {x}})}$ této funkce může být vytvořeno přes ${ displaystyle X}$ superpozicí součtu univariantních kvadratik, každá s dostatečnou velikostí k překonání nekonvexnosti ${ displaystyle {f ({ boldsymbol {x}})}}$ všude ${ displaystyle X}$ , jak následuje:

{ displaystyle L ({ boldsymbol {x}}) = f ({ boldsymbol {x}}) + součet _ {i = 1} ^ {i = n} alpha _ {i} (x_ {i} ^ {L} -x_ {i}) (x_ {i} ^ {U} -x_ {i})}

${ displaystyle L ({ boldsymbol {x}})}$ se nazývá ${ displaystyle alpha { text {BB}}}$ podceňovač pro obecné funkční formy. Padám ${ displaystyle alpha _ {i}}$ jsou dostatečně velké, nová funkce ${ displaystyle L ({ boldsymbol {x}})}$ je konvexní všude ${ displaystyle X}$ . Lokální minimalizace ${ displaystyle L ({ boldsymbol {x}})}$ poskytuje přísnou spodní hranici hodnoty ${ displaystyle {f ({ boldsymbol {x}})}}$ v té doméně.

Výpočet ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$

Existuje mnoho metod pro výpočet hodnot ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$ vektor. Je prokázáno, že když ${ displaystyle alpha _ {i} = max {0, - { frac {1} {2}} lambda _ {i} ^ { min} }}$ , kde ${ displaystyle lambda _ {i} ^ { min}}$ je platná dolní mez na ${ displaystyle i}$ - vlastní číslo hesenské matice ${ displaystyle {f ({ boldsymbol {x}})}}$ , ${ displaystyle L ({ boldsymbol {x}})}$ je podhodnocen zaručeně konvexní.

Jednou z nejpopulárnějších metod k získání těchto platných hranic vlastních čísel je použití věty Scaled Gerschgorin. Nechat ${ displaystyle H (X)}$ být interval Hessianova matice ${ displaystyle {f (X)}}$ v daném intervalu ${ displaystyle X}$ . Pak, ${ displaystyle forall d_ {i}> 0}$ platná dolní mez na vlastním čísle ${ displaystyle lambda _ {i}}$ lze odvodit z ${ displaystyle i}$ -tá řada ${ displaystyle H (X)}$ jak následuje: